\( \def\N{\mathbb{N}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\C{\mathbb{C}} \def\T{\mathbb{T}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Hi{\mathcal{H}} \)

Számítási módszerek a fizikában 1 előadás és gyakorlat

Fizikusok Számítási módszerek a fizikában 1 előadása és gyakorlata
2025/2026 I. félévében.



Tárgykövetelmény: BMETE92AF51Kovetelmeny.


Az órák helye és ideje:

A zárthelyi dolgozatok:

Minimumkövetelmény: A tervezett minimumkövetelmény.


Írásbeli vizsga: Egy minta írásbeli vizsga.


Röpzh-k eredménye: Röpzh.


Gyakorlat anyaga:


Hét: Gyakorló példasor:
1. hét Elemi matematikai függvények és tulajdonságaik, egyenletek egyenlőtlenségek és alkalmazásaik pdf
2. hét Alapműveletek komplex számokkal, hatványozás és egyszerűbb egyenletek megoldása pdf
3. hét Komplex számok trigonometrikus alakja, logaritmusa, hatványozása és trigonometrikus függvényei pdf
4. hét Komplex számok alkalmazása a geometriában, transzformációk leírásában és relativisztikus dinamikában pdf
Polinomok osztása, gyökök és együtthatók közötti összefüggés és $\R^{3}$ elemi mûveletei pdf
5. hét A tér affin alakzatainak felírása, ezek egymástól vett távolságuk és a tér elemi lineáris transzformációinak a felírása pdf
6. hét Lineáris alterek, skaláris szorzás és Gram–Schmidt-ortogonalizáció pdf
7. hét Elmarad

Előadás anyaga:


Hét: Említett témák: Javasolt feladatok:
1. hét Elemi függvények: szinusz, koszinusz, tangens, kotangens (definíció, grafikon, fontosabb azonosságok), hatványozás értelmezése, azonosságai, hatvány és exponenciális függvények (grafikon, fontosabb tulajdonságok), logaritmus (grafikon, tulajdonságok, azonosságok).
Csoport, Ábel-csoport definíciója, kapcsolat a szimmetriákkal. Példák csoportokra. Test axiómák. Példák testekre: $\Q$, $\R$ és $\Q$ bővítése $\sqrt{2}$-vel. Rendezési axiómák. Dedekind-axióma. A valós számok halmazában mindez teljesül, és ezek (izomorfia erejéig) egyértelműen definiálják a valós számok halmazát. Valós számok Arkhimédészi tulajdonsága
2. hét A rendezés nem általánosítható a komplex számtestre. Komplex számok algebrai alakja. Komplex szám valós és képzetes része, konjugáltja, valamint abszolút értéke. Komplex számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa. Komplex szám trigonometrikus alakja. Komplex sor határértéke. Az exponenciális, a (hiperbolikus) szinusz és a (hiperbolikus) koszinusz függvény definíciója hatványsorral. Euler-formula. Trigonometrikus függvények felírása exponenciálissal. Komplex számok szorzása, osztása és hatványozása exponenciális alakban. Addíciós tételek (hiperbolikus) trigonometrikus függvényekre. Az $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ függvény tulajdonságai. Az $\mathrm{arcsin}$, $\mathrm{arccos}$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arsh}$, $\mathrm{arch}$ és $\mathrm{arth}$ függvények definiálása. Algebrai alakban felírt komplex szám esetén a $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ meghatározása. Mat. Feladatgyűjtemény I.
6. fejezet
7-12, 16-21, 33-47, 143-148, 152-157, 169, 170, 177, 181-183.
3. hét Komplex szám logaritmusa. Komplex szám komplex hatványra emelése. Komplex szám $n$-edik gyöke, ahol $n\in\N$.
Polinomok fogalma a $\K$ ($\K=\R$ vagy $\K=\C$) számtest felett. Polinom foka. Polinomok összege, számszorosa és szorzata. Ha $p$ polinom és $x_{0}\in\K$, akkor létezik olyan $q$ polinom, hogy minden $x\in\K$ esetén $p(x)=(x-x_{0})q(x)+p(x_{0})$ teljesül. Polinomok maradékos osztása.
Algebra alaptétele: minden $\C$ számtest feletti legfeljebb elsőfokú polinomnak létezik gyöke a komplex számok körében (bizonyítás nélkül).
Polinom gyökének multiplicitása. Minden $\C$ számtest feletti $n$-ed fokú polinomnak pontosan $n$ gyöke létezik a komplex számok körében a gyököket multiplicitással számolva. Minden $p$ polinom egyértelműen felírható $\displaystyle p(x)=a\prod_{i=1}^{N}(x-x_{i})^{k_{i}}$ alakban, ahol $a,x_{1},\dots,x_{N}\in\K$, $k_{1},\dots,k_{N}\in\N^{+}$ olyan, hogy $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}k_{i}=n$ teljesül. A polinom egütthatói és gyökei közötti összefüggések.
Lagrange-interpoláció: A Lagrange-féle alappolinomok segítségével $n$ pontra, melyek $x$ koordinátája páronként különböző, pontosan egy legfeljebb $(n-1)$-ed fokú polinom illeszthető.
4. hét Az $\R^{n}$ tér elemi vektormûveletei: az $\R^{n}$ tér vektorainak összege, számszorosa és skaláris szorzata (koordinátákkal definiálva). A skaláris szorzás és tulajdonságai. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög definiálása. Az $\R^{3}$ térben vektorok vektoriális szorzata és a vektoriális szorzás tulajdonságai. Az $\R^{3}$ térben a vegyes szorzat. Az $\mathrm{i}$, $\mathrm{j}$ és $\mathrm{k}$ egységvektorok az $\R^{3}$ térben. A $\delta_{ik}$ és $\varepsilon_{ijk}$ szimbólumok. A vektoriális szorzás felírása az $\varepsilon_{ijk}$ szimbólummal. A vegyes szorzat tulajdonságai. Mat. Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet: 51-126.
5. fejezet: 1-90.
5. hét Az $\R^{3}$ térben a pont, az egyenes és a sík egyenlete és ezen alakzatok egymástól vett távolsága.
Absztrakt vektortér fogalma az $\R$ és a $\C$ számtest felett. Vektorok lineáris kombinációja és lineáris függetlensége. Lineáris altér. Bázis. Minden vektortérben létezik bázis. (Bizonyítás nélkül.) Vektortérben két bázis elemszáma azonos. (Bizonyítás nélkül.) Dimenzió. Vektortérben vektor felírása adott bázisban egyértelmű. 		Mat. Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet: 36, 37.
Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet: 1-35.
6. hét Skaláris szorzás. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög. Norma. A $\Vert\cdot\Vert_{p}$ ($p\in\left[1,\infty\right[\cup\{\infty\}$) norma a $\K^{n}$ téren. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer. Vektor kifejtése ortonormált bázisban. Pitagorasz tétel véges dimenzióban. Szakasz felírása vektortérben, a konvex halmaz és az extremális pont fogalma. Gram–Schmidt-ortogonalizáció. Lineáris leképezés definíciója. Lineáris leképezések összege, számszorosa és szorzata. Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet: 80-99.


Irodalom: