Dr. Horv�th R�bert

Tant�rgyak
	Numerikus m�dszerek	»
	MSc Numerikus m�dszerek 2	»
	Numerikus sz�m�t�sok	»
	Anal�zis 2 info	»
	Anal�zis szigorlat info	»
	Fels�bb mat. B	»
	Mat. A3#	»
Hasznos linkek
	Neptun	»

Anal�zis 2 info - TE90AX22 (2015/16. II. f�l�v)

Aktu�lis
Gratul�lok a matematika versenyen r�sztvev� hallgat�knak (Alm�si P�ter B�la, Balog Gergely, Geng M�t�, Hupj�n K�roly, Juhos Attila, Szab� D�niel, Tam�s Csongor, Varga Rudolf, Zab� Krist�f)! Ketten is 30 pontos eredm�nyt �rtek el (Alm�si P�ter B�la �s Juhos Attila), ami a m�sodik legmagasabb pontsz�m volt az eg�sz mez�nyben! BME Matematika Verseny feladatai A szigorlattal kapcsolatos inform�ci�k itt tal�lhat�k. P�tp�tzh el�tti konzult�ci�: 2016. m�jus 31. (p�tp�tzh napja, kedd) d�lel�tt 10 �r�t�l a H607-ben. A p�tp�tzh 2016. m�jus 31-�n (kedden) lesz 14-15-ig az E1C teremben. Erre a zh-ra a Neptunban kell jelentkezni, �s meg�r�sa k�l�nelj�r�si d�jjal j�r.

T�rgyk�vetelm�nyek
T�rgyk�vetelm�ny

Z�rthelyik
2015/16. II. f�l�v, 3. p�tzh, megold�sok
2015/16. II. f�l�v, 3. zh, megold�sok
2015/16. II. f�l�v, 2. p�tzh, megold�sok
2015/16. II. f�l�v, 2. zh, megold�sok
2015/16. II. f�l�v, 1. p�tzh, megold�sok
2015/16. II. f�l�v, 1. zh, megold�sok

Eredm�nyek
Az eg�sz �vfolyam zh-eredm�nyei

Az el�ad�sok �s gyakorlatok anyaga

A t�rgy adatlapja r�szletes tant�rgyi tematik�val

Matematika Konzult�ci�s K�zpont

Az al�bbi jegyzeteket �s p�ldat�rakat haszn�ljuk a f�l�v sor�n.
A1J: Anal�zis 1 informatikusoknak jegyzet
A1P: Anal�zis 1 informatikusoknak p�ldat�r
A2J: Anal�zis 2 informatikusoknak jegyzet
A2P: Anal�zis 2 informatikusoknak p�ldat�r
Fourier-transzform�ci� �s feladatok

H�t	El�ad�s (K15, CS12)	Gyakorlat (CS10, CS15, P12)
1. (02.15.)	Kedd:T�rgyk�vetelm�nyek ismertet�se. Differenci�legyenletek (d.e.) bevezet�se. Sz�tv�laszthat� v�ltoz�j� d.e.-ek megold�sa. Cs�t�rt�k: Els�rend� line�ris d.e.-ek megold�sa.	Differenci�legyenletek bevezet�se, sz�tv�laszthat� v�ltoz�j� egyenletek. Javasolt feladatok: A2P 1.1.1-2., 1.2.1-6.
2. (02.22.)	Kedd: Val�s vektort�r fogalma, f�ggetlens�g, b�zis, dimenzi�. Az els�rend� homog�n lin. d.e. megold�sai egydim. vektorteret alkotnak. D.e.-ek megold�sa �j ismeretlen f�ggv�ny bevezet�s�vel. Vonalelem, ir�nymez�, izoklina. Cs�t�rt�k: Hi�nyos m�sodrend� d.e.-ek (x vagy y hi�nyzik), magasabbrend� line�ris d.e.-ek megold�sa, bevezet�s.	Els�rend� line�ris d.e.-ek. �j ismeretlen bevezet�se. Ir�nymez�, izoklina alkalmaz�sa. Javasolt feladatok: A2P 1.3.3-8., 1.4.1., 1.4.5-6, 1.5.4., 1.5.6-7.
3. (02.29.)	Kedd: Magasabbrend�, line�ris d.e.-ek megold�sa. A homog�n egyenlet megold�sai eset�n a f�ggetlens�g ellen�rz�se Wronski-determin�nssal. �lland� egy�tthat�s, line�ris, homog�n egyenlet �ltal�nos megold�s�nak el��ll�t�sa a karakterisztikus egyenlet seg�ts�g�vel. Inhomog�n egyenlet partikul�ris megold�s�nak keres�se a pr�baf�ggv�ny m�dszer�vel. Cs�t�rt�k: Line�ris rekurzi�k. Numerikus sorok bevezet�se.	Magasabbrend� (m�sodrend� hi�nyos ill. magasabbrend� line�ris) d.e.-ek megold�sa. Javasolt feladatok: (1+x^2)y"=2xy', yy"=2(y')^2-2y', Igazoljuk, hogy xy'''+2y"=0 egy alaprendszere 1,x,ln(x) (x>0)! A2P 1.6.3., 1.6.11., 1.6.13-14., 1.6.16-17., 1.6.21. (1.8. fejezet �rdekl�d�knek szorgalmi feladat)
4. (03.07.)	Kedd: Numerikus sorok folytat�sa. V�gtelen m�rtani sor. �sszeg �s sz�mszoros konvergenci�ja. Cauchy-krit�rium. Sz�ks�ges felt�tel a konvergenci�ra. Leibniz-sorok. Cs�t�rt�k: Abszol�t- �s felt�teles konvergencia. Major�ns-, minor�ns-, gy�k-, h�nyados- �s integr�lkrit�riumok.	Line�ris rekurzi�k. Gyakorl�s. Javasolt feladatok: Egy 6-fokos l�pcs�n megy�nk fel �gy, hogy minden l�p�sn�l eld�ntj�k, hogy egy, kett� vagy h�rom fokot l�p�nk-e. H�ny k�l�nb�z� m�don mehet�nk fel ezen a l�pcs�n (explicit alakot nem kell fel�rni)? A2J 1.99, A2P 1.7.3a, 1.7.4a. Adjuk meg az f_{n}=f_{n-1}-2f_{n-3} rekurzi�val gener�lt sorozatok val�s explicit alakj�t, ill. f_0=f_2=1, f_1=-1 v�laszt�s mellet a sorozat f_{100} tagj�t! Gyakorl�s.
5. (03.14.)	Kedd: M�rcius 15. (nincs el�ad�s) Cs�t�rt�k: Gy�k- �s integr�lkrit�riumok sorokra. F�ggv�nysorozatok (konvergenciatartom�ny, egyenletes konvergencia �s k�vetkezm�nyei) �s f�ggv�nysorok (konvergenciatartom�ny, �sszegf�ggv�ny, egyenletes konvergencia, Cauchy-krit�rium)	Numerikus sorok. Javasolt feladatok: A1P 2.1-2.5 fejezet 2, 3, 5, 7, 11, 12, 13, 15, 16, 17.
6. (03.21.)	Kedd: F�ggv�nysorok folytat�s (abszol�t konvergencia, Weierstrass-krit�rium, egyenletes konvergencia �s k�vetkezm�nyei). Hatv�nysorok bevezet�se. Cs�t�rt�k: Hatv�nysorok konvergenciasugara �s konvergenciatartom�nya. Az �sszegf�ggv�ny folytonoss�ga, integr�lhat�s�ga �s deriv�lhat�s�ga, a szumma �s a deriv�l�s, integr�l�s, hat�r�rt�k felcser�lhet�s�ge. A Taylor-polinom.	Gy�k- �s integr�lkrit�rium. F�ggv�nysorozatok �s f�ggv�nysorok. Javasolt feladatok: A2P 2.1-2.2 fejezet feladatai, A1P 5.9 fejezet 36., A2J 96. oldal 2.36. p�lda �s a 2.3.3. fejezet gyakorl� feladatai (98. oldal).
7. (03.28.)	Kedd:Taylor-sor, Lagrange-f�le marad�ktag alakja. Hibabecsl�sek a marad�ktaggal. El�gs�ges felt�tel a marad�ktag null�hoz tart�s�ra. Nevezetes f�ggv�nyek Taylor-sora (sin, cos, exp, sh, ch, 1/(1-x)). Binomi�lis-sor. Cs�t�rt�k: Tov�bbi p�ld�k Taylor-sorokra. T�bbv�ltoz�s f�ggv�nyek bevezet�se, szeml�ltet�s�k, pontsorozatok.	Hatv�nysorok, Taylor-polinom, Taylor-sor. Javasolt feladatok: A2P 2.3.13, 2.3.14 (mindkett�n�l a konvergenciasug�r, konvergenciatartom�ny, abszol�t- �s egyenletes konvergencia vizsg�lata), 2.3.18, 2.3.19, 2.4.3, 2.4.4b,c, 2.5.5, 2.5.10, 2.5.15, 2.5.16. A fejezetek t�bbi feladata �n�ll� gyakorl�sra javasolt.
8. (04.04.)	Kedd: T�bbv�ltoz�s f�ggv�nyek hat�r�rt�ke, folytonoss�ga. Parci�lis deriv�lt. Cs�t�rt�k: Parci�lis deriv�lt p�ld�k. Tot�lis deriv�lt defin�ci�ja, k�t sz�ks�ges �s egy el�gs�ges felt�tele.	Binomi�lis-sor. T�bbv�ltoz�s f�ggv�nyek bevezet�se, parci�lis deriv�lt. Javasolt feladatok: A2P 2.6.5-6., az A2P 3. fejezet elej�n szerepl� fel�letek �tn�z�se, A2P 3.1.9-11., A2J 3.2.8 Gyakorl� feladatok k�z�l: 4,5,6,7,11,12. A2J 3.3.10 Gyakorl� feladatok k�z�l: 1,3,5. A fejezetek t�bbi feladata �n�ll� gyakorl�sra javasolt.
9. (04.11.)	Kedd: P�ld�k a tot�lis deriv�ltra. K�tv�ltoz�s f�ggv�nyek �rint�s�kj�nak egyenlete. Teljes differenci�l fogalma. Ir�nymenti deriv�lt �s kisz�m�t�sa. Cs�t�rt�k: Gradiensvektor tulajdons�gai, a maxim�lis �s minim�lis ir�nymenti deriv�lt, a szintfel�let �s a gradiens kapcsolata, az ir�nymenti �rint�egyenes egyenlete. Magasabbrend� parci�lis deriv�ltak, Young-t�tel (parci�lis deriv�ltakkal). Lok�lis sz�ls��rt�k fogalma, sz�ks�ges felt�tele parci�lisan deriv�lhat� f�ggv�ny eset�n.	Gyakorl�s a zh-ra. Tot�lis �s parci�lis deriv�lt. Javasolt feladatok: A2P 3.2.8-13. A fejezet t�bbi feladata �n�ll� gyakorl�sra javasolt.
10. (04.18.)	Kedd: T�bbv�ltoz�s f�ggv�nyek lok�lis �s abszol�t sz�ls��rt�kei. Cs�t�rt�k: Sz�ls��rt�k gyakorl�s. Vektor-vektor f�ggv�nyek deriv�ltja, �sszetett f�ggv�ny deriv�l�sa, l�ncszab�ly.	�rint�s�k, teljes differenci�l, ir�nymenti deriv�lt. lok�lis sz�ls��rt�k. Javasolt feladatok: A2P 3.3.6-7. (+ teljes differenci�l az adott pontokban). Sz�m�tsuk ki \sqrt{1.02^3+1.97^3} k�zel�t� �rt�k�t egy megfelel�en v�lasztott k�tv�ltoz�s f�ggv�ny �rint�s�kos k�zel�t�s�vel (Mo.: 2.95 a t�nyleges �rt�k kb. 2.9507)! Egy k�rhenger sugar�t 1%-os, magass�g�t 2%-os hib�val m�rj�k. Becs�lj�k meg a henger t�rfogat�nak lehets�ges hib�j�t (Mo.: 4%)! A2P 3.5.5-8. (csak a sz�ls��rt�kek). A fejezet t�bbi feladata �n�ll� gyakorl�sra javasolt.
11. (04.25.)	Kedd: K�tv�ltoz�s f�ggv�nyek integr�l�sa t�glalapon ill. norm�ltartom�nyon. Cs�t�rt�k: Integr�l�s norm�ltartom�nyon (tov�bbi gyakorl�s). Helyettes�t�ses integr�l�s k�tv�ltoz�ban. S�kbeli pol�r koordin�tatranszform�ci�. P�ld�k.	Abszol�t sz�ls��rt�k. �sszetett f�ggv�ny deriv�l�s.Integr�l�s t�glalapon �s norm�ltartom�nyon. Javasolt feladatok: �n�ll� gyakorl�sra javasolt az A2P 3.4, 3.5 �s 3.6 (helyettes�t�s m�g nem kell) fejezeteinek feladatai.
12. (05.02.)	Kedd: K�tv�ltoz�s helyettes�t�s gyakorl�sa, az \int_0^\infty exp(-x^2) improprius integr�l kisz�m�t�sa. H�romv�ltoz�s f�ggv�nyek integr�l�sa (t�gl�n, norm�ltartom�nyon). Cs�t�rt�k: H�romv�ltoz�s f�ggv�nyek integr�l�sa helyettes�t�ssel (henger, g�mbi pol�r). A Jordan-m�rt�k.	K�tv�ltoz�s f�ggv�nyek integr�l�sa helyettes�t�ssel. H�romv�ltoz�s f�ggv�nyek integr�l�sa t�gl�n �s norm�ltartom�nyon. Javasolt feladatok: �n�ll� gyakorl�sra javasolt az A2P 3.6. fejezet helyettes�t�ses feladatai (3.6.2. fejezet), ill. 3.7.1., 3.7.7., 3.7.8.
13. (05.09.)	Kedd: Fourier-sorok: Skal�ris szorz�s, Euklideszi-t�r. Ortogonalit�s, norma. A trigonometrikus rendszer ortogonalit�sa. A tagok norm�i. Egyenletesen konvergens trigonometrikus sor egy�tthat�i egy�rtelm�en meghat�rozottak. Fourier-sor defin�ci�ja. Folytonos fv. egyenletesen konvergens Fourier-sora el��ll�tja a f�ggv�nyt. Cs�t�rt�k: Dirichlet-t�tel. Trigonometrikus rendszer teljess�ge. P�ratlan �s p�ros f�ggv�nyek Fourier-sora. P�ld�k.	H�romv�ltoz�s f�ggv�nyek helyettes�t�ses integr�l�sa. Fourier-sorok. Javasolt feladatok: A2P 3.7.7-10., 2.7.5-8. (amennyi belef�r). A fejezetek t�bbi feladata �n�ll� gyakorl�sra javasolt.
14. (05.16.)	Kedd: Fourier-transzform�ci� �rtelmez�se, tulajdons�gai m�veleti szab�lyok. Cs�t�rt�k: Konvol�ci� �s tulajdons�gai. Alkalmaz�sok.	Fourier-sorok. Fourier-transzform�ci�. Javasolt feladatok: A2P 3.7.7-10., 2.7.5-8. ill. Fourier-transzform�ci� �s feladatok 5. fejezet 2-8.

Hasznos linkek
- Babcs�nyi feladatgy�jtem�nyek tov�bbi gyakorl�shoz: I, II, III.
- Oktat�si seg�danyagok K�nya Ilona honlapj�n
- Oktat�si seg�danyagok Tasn�di Tam�s honlapj�n
- VIK Wiki