| Hét | Előadás / gyakorlat / kitűzött feladatok |
| 1. (02.06.) | Tárgykövetelmények ismertetése. Néhány nevezetes PDE áttekintése. Az 1D hővezetési egyenlet véges differenciás megoldása az EE-módszerrel. Konzisztenciavizsgálat. / Ritka mátrixok kezelése a Matlabban. Az 1D hővezetési egyenlet különböző peremfeltételekkel. Feladatok ->
|
| 2. (02.13.) | Az EE-módszer vektoriterációs alakja. Egy elégséges feltétel az EE-módszer konvergenciájára. Tridiagonális mátrixok sajátértékeinek segítségével a szükségesség megmutatása. Az implicit Euler-módszer feltétel nélküli konvergenciájának igazolása M-mátrixos technikával. A Crank-Nicolson-módszer. Nemnegativitásmegőrzés feltétele. / Konvergenciarendek ellenőrzése egyszerű tesztfeladatokon. A Neumann-típusú peremek kezelése az EE-módszerben. Az első és másodrendű deriváltközelítés hatásának összehasonlítása. Konzisztenciavizsgálat. Feladatok ->
|
| 3. (02.20.) | Kezdetiérték-feladatok megoldása. Nomabeli konzisztencia, konvergencia, séma stabilitásának fogalma. Lax-féle ekvivalencia tétel. Lax-tétel. / A Crank-Nicolson-módszer és hibabecslése. A teta-módszer alkalmazása általános feladatra (forrás, Robin-perem, időfüggő Dirichlet perem). Feladatok
-> |
| 4. (02.27.) | Stabilitásvizsgálat l_{2,dx} normában diszkrét Fourier-transzformáció segítségével. von Neumann-feltétel. Különböző feltételek a stabilitásra kezdeti-, ill. kezdeti- és peremérték-feladatok esetére. A növekedési faktor. Háromréteges sémák, növekedési mátrix, feltételek a stabilitásra. Implicit sémák kezelése / Konvergencia igazolása maximum és l_{2,dx} normákban az implicit Euler-módszerre kezdeti-, ill. kezdeti- és peremértékérték-feladatok esetén. Az CTCS-séma nem stabil. A Dufort-Frankel-séma (feltétel nélkül stabil).
Feladatok -> |
| 5. (03.06.) | A stabilitás feltétele kétlépéses sémák esetén. A Dufort-Frankel séma stabilitása. Az advekciós egyenlet numerikus megoldása. A karakterisztikák módszere. Az upwind-, a Lax-Wendroff- és leap-frog sémák. A Sherman-Morrison-formula mátrixinverzre. / A Dufort-Frankel-séma feltételesen konzisztens. A Lax-Friedrichs-séma periodikus peremfeltétellel. Mesterséges diffúzió bevezetése stabilizáció céljából. A Lax-Friedrichs-séma származtatása a nem stabil FTCS-sémából mesterséges diffúzióval. Feladatok -> |
| 6. (03.13.) | Implicit sémák vizsgálata az advekciós egyenletre. Dirichlet peremfeltétel és kezelése. Disszipáció és diszperzió. Háromrétegű sémák inicializálásának módszere / Az implicit upwind séma az advekciós egyenletre. A Sherman-Morrison-formula alkalmazása. Disszipáció és diszperzió vizsgálata. Dirichlet peremfeltétel az upwind sémával. Feladatok ->
|
| 7. (03.20.) | Az eltolt rácsos séma egy elsőrendű hiperbolikus parciális differenciálegyenletre. A másodrendű hullámegyenlet megoldása a CTCS-sémával. Az időben másodrendű, konzisztens sémák konvergenciájához elegendő a k-rendű stabilitás. Az inicializálás feltétele. Az első- és másodrendű inicializálás összehasonlítása. A Poisson-egyenlet megoldása a véges differencia módszerrel. / Egy nemlineáris (Burgers) egyenlet megoldása. Advekció-diffúziós-egyenlet megoldása az advekciódominált esetben FTCS-sémával.
Feladatok ->
|
| 8. (03.27.) | A Poisson-egyenlet megoldása (folytatás). A megoldandó egyenletrendszer felírása. Az együtthatómátrix M-mátrix. A másodrendű konvergencia igazolása. Robin-peremfeltétel kezelése a konvergenciarend megőrzése mellett. Shortly-Weller-approximáció. / Az egydimenziós hullámegyenlet megoldása. A Poisson-egyenlet megoldása egységnégyzeten Dirichlet-peremfeltétel mellett. Feladatok ->
|
| 9. (04.03.) | Többrácsos (multigrid) módszerek / Neumann-perem és nemtéglalap tartományok kezelése a 2D Poisson egyenletre. Többrácsos módszer. Feladatok ->
|
| 10. (04.10.) |
Peaceman-Rachford-séma (ADI) a kétdimenziós hővezetési egyenletre a Crank-Nicolson-módszerrel történő véges differenciás megoldás esetén. A különböző módszertípusok áttekintése. A végeselem módszer elméleti alapja. A Galjorkin módszer. Merevségi mátrix és terhelési vektor. / A Poisson-egyenletre vonatkozó véges differenciás megoldás kvalitatív vizsgálata (monotonitás, maximum-elv). A 9-pontos Laplace-operátor negyedrendű. A kétváltozós hővezetési egyenlet megoldása az egységnégyzeten homogén Dirichlet peremmel. Az explicit Euler-módszer stabilitásának feltétele (q \le 1/4). A Crank-Nicolson-módszer megvalósítása, a Peaceman-Rachford-séma. Ezen a héten nincs házi feladat.
|
|
| 11. (04.17.) |
Galjorkin-ortogonalitás, Céa-lemma. Szoboljev-terek bevezetése. Gyenge alak megfogalmazása Szoboljev-terekben. A végeselem módszer konstrukciója a Poisson-egyenletre homogén Dirichlet-peremfeltétel esetén. A merevségi mátrix és a terhelési vektor konstrukciója. / Egydimenziós peremértékfeladat megoldása a végeselem módszerrel. (Gyenge alak felírása, Lax-Milgram feltételeinek igazolása, a végeselem megoldás előállítása.) A megoldást előállító program elkészítése.
Feladatok -> |
| 12. (04.24.) |
Az előadás dékáni szünet miatt elmarad. / Az egydimenziós peremértékfeladat Galjorkin-módszeres numerikus megoldásának hibabecslése (H^1,L_2). A Poisson-egyenlet megoldása szabályos háromszögrácson a Galjorkin-módszer segítségével.
Feladatok ->
|
| 13. (05.01.) | Nemhomogén Dirichlet és Neumann-peremfeltételek kezelése. Végeselem terek. A végeselem-módszer hibája. / Az egydimenziós peremértékfeladat megoldása különböző peremfeltételek esetén szakaszonként lineáris és kvadratikus bázisfüggvényekkel.
Feladatok ->
|
| 14. (05.08.) | Másodrendű lineáris időfüggő feladatok megoldása a végeselem módszerrel. A Matlab pdetool eszköztárának bemutatása. / Egy negyedrendű feladat véges elemes megoldása szakaszonként harmadfokú bázisfüggvényekkel. A Poisson-egyenlet megoldása nemhomogén Dirichlet- és Neumann-peremfeltétel esetén. Egy példa a kétdimenziós hővezetési egyenlet véges elemes numerikus megoldására. Poisson2Ddirneu_FEM.m, Hovez2Ddirneu_FEM.m |
