\( \def\N{\mathbb{N}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\C{\mathbb{C}} \def\T{\mathbb{T}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Hi{\mathcal{H}} \def\di{\displaystyle} \def\i{\mathrm{i}} \def\Sp{\mathrm{Sp}} \def\vto{\twoheadrightarrow} \def\gz#1{\left( #1\right)} \def\kz#1{\left\lbrace #1\right\rbrace} \def\sz#1{\left\lbrack #1\right\rbrack} \def\abs#1{\left\vert #1\right\vert} \def\norm#1{\left\Vert #1\right\Vert} \def\scal#1{\left\langle #1\right\rangle} \)

Vektor- és mátrixalgebra előadás és gyakorlat

Fizikusok Vektor- és mátrixalgebra előadása és gyakorlata
2026/2027 I. félévében.



Tárgykövetelmény: BMETE91AP62 Kovetelmeny.


Az órák helye és ideje:

A zárthelyi dolgozatok:

Eredmények: Röpzh.


Gyakorlat anyaga:


Hét: Gyakorló példasor:
1. hét Elemi matematikai függvények és tulajdonságaik, egyenletek egyenlőtlenségek és alkalmazásaik pdf
2. hét Alapműveletek komplex számokkal, hatványozás és egyszerűbb egyenletek megoldása pdf
3. hét Komplex számok trigonometrikus alakja, logaritmusa, hatványozása és trigonometrikus függvényei pdf
Komplex számok alkalmazása a geometriában, transzformációk leírásában és relativisztikus dinamikában pdf
4. hét Polinomok osztása, gyökök és együtthatók közötti összefüggés és $\R^{3}$ elemi mûveletei pdf
5. hét A tér affin alakzatainak felírása, ezek egymástól vett távolságuk és vektortér lineáris alterei pdf
6. hét Skaláris szorzás és Gram–Schmidt-ortogonalizáció pdf
7. hét Elmarad
8. hét Lineáris transzformációk mátrixa, elemi mátrixműveletek és a determináns pdf

Előadás anyaga:


Hét: Említett témák: Javasolt feladatok:
1. hét Elemi függvények: szinusz, koszinusz, tangens, kotangens, exponenciális és logaritmus rövid áttekintése.
Test axiómák. Példák testekre: $\Q$, $\R$ és $\Q$ bővítése $\sqrt{2}$-vel. Rendezési axiómák. Dedekind-axióma. A valós számok halmazában mindez teljesül, és ezek (izomorfia erejéig) egyértelműen definiálják a valós számok halmazát.
Komplex számok algebrai alakja. Komplex szám valós és képzetes része, konjugáltja, valamint abszolút értéke. Komplex számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa. A rendezés nem általánosítható a komplex számtestre. Komplex szám trigonometrikus alakja. Komplex sor határértéke. Az exponenciális, a (hiperbolikus) szinusz és a (hiperbolikus) koszinusz függvény definíciója hatványsorral. Euler-formula. Trigonometrikus függvények felírása exponenciálissal.
2. hét Addíciós tételek (hiperbolikus) trigonometrikus függvényekre. Komplex számok szorzása, osztása és hatványozása exponenciális alakban. Az $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ függvény tulajdonságai. Az $\mathrm{arcsin}$, $\mathrm{arccos}$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arsh}$, $\mathrm{arch}$ és $\mathrm{arth}$ függvények definiálása. Algebrai alakban felírt komplex szám esetén a $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ meghatározása. Komplex szám logaritmusa. Komplex szám komplex hatványra emelése. Komplex szám $n$-edik gyöke, ahol $n\in\N$. Mat. Feladatgyűjtemény I.
6. fejezet
7-12, 16-21, 33-47, 143-148, 152-157, 169, 170, 177, 181-183.
3. hét Polinomok fogalma a $\K$ ($\K=\R$ vagy $\K=\C$) számtest felett. Polinom foka. Polinomok összege, számszorosa és szorzata. Ha $p$ polinom és $x_{0}\in\K$, akkor létezik olyan $q$ polinom, hogy minden $x\in\K$ esetén $p(x)=(x-x_{0})q(x)+p(x_{0})$ teljesül. Polinomok maradékos osztása.
Algebra alaptétele: minden $\C$ számtest feletti legfeljebb elsőfokú polinomnak létezik gyöke a komplex számok körében (bizonyítás nélkül).
Polinom gyökének multiplicitása. Minden $\C$ számtest feletti $n$-ed fokú polinomnak pontosan $n$ gyöke létezik a komplex számok körében a gyököket multiplicitással számolva. Minden $p$ polinom egyértelműen felírható $\displaystyle p(x)=a\prod_{i=1}^{N}(x-x_{i})^{k_{i}}$ alakban, ahol $a,x_{1},\dots,x_{N}\in\K$, $k_{1},\dots,k_{N}\in\N^{+}$ olyan, hogy $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}k_{i}=n$ teljesül. A polinom egütthatói és gyökei közötti összefüggések.
Lagrange-interpoláció: A Lagrange-féle alappolinomok segítségével $n$ pontra, melyek $x$ koordinátája páronként különböző, pontosan egy legfeljebb $(n-1)$-ed fokú polinom illeszthető.
Az $\K^{n}$ tér elemi vektormûveletei: az $\K^{n}$ tér vektorainak összege, számszorosa, skaláris szorzata (koordinátákkal definiálva) és hossza (skaláris szorzással definiálva). A skaláris szorzás és tulajdonságai.
4. hét Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög definiálása. Az $\R^{3}$ térben vektorok vektoriális szorzata és a vektoriális szorzás tulajdonságai. Az $\R^{3}$ térben a vegyes szorzat. Az $\i$, $\mathrm{j}$ és $\mathrm{k}$ egységvektorok az $\R^{3}$ térben. A $\delta_{ik}$ és $\varepsilon_{ijk}$ szimbólumok. A vektoriális szorzás felírása az $\varepsilon_{ijk}$ szimbólummal. A vegyes szorzat tulajdonságai.
Az $\R^{3}$ térben a pont, az egyenes és a sík egyenlete és ezen alakzatok egymástól vett távolsága.
Absztrakt vektortér fogalma az $\R$ és a $\C$ számtest felett. Vektorok lineáris kombinációja és lineáris függetlensége. 		Mat. Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet: 51-126.
5. fejezet: 1-90.
5. hét Bázis. Minden vektortérben létezik bázis. (Bizonyítás nélkül.) Vektortérben két bázis elemszáma azonos. (Bizonyítás nélkül.) Dimenzió. Lineáris altér. Vektortérben vektor felírása adott bázisban egyértelmű.
Szakasz felírása vektortérben, a konvex halmaz és az extremális pont fogalma.
Skaláris szorzás. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög.
Norma. A $\Vert\cdot\Vert_{p}$ ($p\in\left[1,\infty\right[\cup\{\infty\}$) norma a $\K^{n}$ téren.
Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer. Vektor kifejtése ortonormált bázisban. Pitagorasz tétel véges dimenzióban. 		Mat. Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet: 36, 37.
Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet: 1-35.
6. hét Gram–Schmidt-ortogonalizáció.
Lineáris leképezés definíciója. Adott $U$ és $V$ vektorterek esetén a lineáris leképezése halmaza: $\mathrm{Lin}(U,V)$. Lineáris leképezések összege, számszorosa és szorzata. A $\mathrm{Lin}(U,V)$ halmaz természetes módon vektortér.
Vektortér duálisa és biduálisan. Vektortér beágyazása a biduálisba.
Az $U$ és a $V$ vektortérben adott bázis esetén az $A\in\mathrm{Lin}(U,V)$ lineáris leképezés mátrixa. Mátrixműveletek és kompatibilitásuk a lineáris leképezések műveleteivel.
7. hét Lineáris alterek. Vektorok lineáris burka. A lineáris burok megegyezik a vektorokat tartalmazó lineáris alterek metszetével.
Lineáris leképezés képtere és magtere. A képtér és a magtér lineáris altér. Lineáris leképezés rangja. Dimenziótétel.
Csoport, Ábel-csoport definíciója, kapcsolat a szimmetriákkal. Példák csoportokra. Az $\{1,\dots,n\}$ halmaz permutációi ($\mathrm{Perm}(n)$). Permutációk csoportot alkotnak a kompozíció művelettel. Transzpozíció. Létezik egyetlen olyan $\varepsilon:\mathrm{Perm}(n)\to\{-1,1\}$ csoporthomomorfizmus (előjel függvény), mely minden transzpozícióhoz a $-1$ értéket rendeli.
Mátrix determinánsa. 		Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet: 80-99.


Irodalom: