Segédanyagok az 1. zárthelyihez

Komplex számok, sorozatok: 02, 03, 04, 05

Függvényhatárérték: 06, 07

Deriválás: 08

Régebbi zárthelyi: próbazh

Mintazárthelyi a zh.html link alatt.

Sok segédanyag található a Thomas Kalkulusban is:
Az alábbiakban a megfelelõ anyagrészek mellé odaírom a 3 kötetes Thomas-féle Kalkulus (Typotex, Budapest 2007.)
megfelelõ alfejezetét, ahol az elméletet is átolvashatjuk, továbbá kidolgozott és nem kidolgozott feladatokat is
bõségesen találunk. A kötetek végén a nem kidolgozott feladatok egy részének megoldása is meg van adva.
Tudni azt kell, ami az elõadáson és a gyakorlaton elhangzott, ettõl a segédanyagok felfogásban és
tárgyalásmódban eltérhetnek. A {9.6} azt jelenti, hogy a 9. fejezet 6. alpontja tárgyalja a kérdést, az {F.6} a 6. Függelék.
A három kötet fejezetszámozása folytonos, ezért nem tüntetem fel a kötetszámot.

Komplex számok algebrája: valós rész, képzetes rész, konjugált, komplex szám algebrai és exponenciális
alakja, ezek átírása egymásba, alapmûveletek végrehajtása, komplex szám hatványai, z^n=w alakú egyenlet megoldásai,{F.4}

polinom komplex gyökeinek megkeresése (ha egyszerû).

Vektoralgebra:  Síkbeli egyenes normálvektora, irányvektora, egyenes 2 ponton át{1.2}.

 Sík- és térvektorok skaláris szorzása, v felbontása egy w-re merõleges és egy w-vel párhuzamos komponens összegére{12.3}.

Jobbsodrású rendszer. Determináns. Vektoriális szorzat{12.4}.

Térbeli egyenes egyenletrendszere, paraméteres egyenletrendszere, irányvektora. Egyenes két ponton át,
egy ponton átmenõ adott irányú egyenes. Pont és egyenes távolsága, két egyenes metszéspontja (ha van), kitérõ egyenesek.
Sík egyenlete, normálvektora, sík 3 ponton át, sík egy ponton és egy egyenesen át, két sík metszet-egyenese, egy sík és egy
egyenes döféspontja, sík és pont távolsága, két sík szöge{12.5}.

Sorozatok határértéke: korlátos számhalmaz, supremum, infimum. Határérték fajtái (féloldali, végtelenbeli, végtelen), definíciók,
adott epsilonhoz küszöbindex keresése. Határérték számítási szabályai (alapmûveletek, rendõrszabály). Részsorozat limesze.
Nevezetes határértékek, ezek alapján megoldható limesz-keresési feladatok. Konvergens sorozat korlátos. Nullsorozat és
korlátos sorozat szorzata. [Cauchy kritérium.] Monoton sorozatok limesze. (1+1/n)^n típusú határértékek. Rekurzív sorozatok
határértéke. Gyökös kifejezések limesze, "konjugálttal való bõvítés"{11.1}, {F.6}.

 Bolzano-Weierstrass tétel. Torlódási pont, limes superior, limes inferior.

Függvényhatárérték: értelmezési tartomány, értékkészlet, grafikon{1.3}.

Periodikus, monoton, páros, páratlan, konvex, konkáv függvény.
Inverz függvény kiszámítása, értelmezési tartománya, értékkészlete, grafikonja.

Közvetett függvény. {1.5}

Függvényhatárérték fajtái (féloldali, végtelenbeli, végtelen), definíciók, adott epsilonhoz delta keresése. {2.3}, {2.4},{2.5}

Átviteli elv és következményei (alapmûveletek, rendõrszabály). {2.2}

Nevezetes határértékek, ezek alapján megoldható feladatok.{2.4}

Folytonosság: Adott pontban ill. intervallumon folytonos függvény. Féloldali folytonosság. Kapcsolat a sorozat-határértékkel. A négy
alapmûvelettel képzett, a közvetett és az inverz függvény folytonossága. Az abszolút érték folytonossága. {2.6}

Nevezetes folytonos függvények, ezek alapján megoldható feladatok. {1.4},{1.6}

Szakadási helyek osztályozása (elsõ- és másodfajú, megszüntethetõ szakadás és ugrás). Monoton függvény szakadási helyei.

Korlátos zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai (Weierstrass 1, 2, Bolzano tétele). Alkalmazás: adott függvény gyökeinek száma.{2.6}

Differenciálszámítás: derivált definíciója különbségi hányadossal,{2.7}

[geometriai interpretáció, az epsilon(x) függvénnyel megadható másik definíció]. Féloldali derivált. {3.1}

Érintõegyenes. {2.7}

 Összeg, szorzat, hányados, közvetett és inverz függvény deriváltja. x^a, a^x, sin, cos, tg, ctg, ln deriváltja,
az ezekkel megoldható feladatok.{3.2},{3.4},{3.5}

Segédanyagok a 2. zárthelyihez

l'Hospital szabály   09

Szélsőérték   09,   10

Függvényvizsgálat   11 

Primitív függvény, parciális integrálás  11 , 12

Racionális törtfüggvények integrálása, határozott integrál 13 

Segédanyagok a Thomas Kalkulusban:

A differenciálszámítás alkalmazásai:

Középértéktételek (Rolle, Lagrange, Cauchy). {4.2, 4.6}

Monotonitás vizsgálata deriválással. {4.3}

 Trigonometrikus függvények inverzei. {7.7}

Hiperbolikus függvények és inverzeik. {7.8}

 Konvexitás vizsgálata deriválással. {4.4}

L'Hospital szabály. {4.6}

Lokális szélsőértékhely szükséges illetve elégséges feltételei. {4.1, 4.3, 4.4}

 Abszolút szélsőértékhelyek keresése. {4.1, 4.5}

Inflexiós pontok. Aszimptota. Függvényvizsgálat. {4.4}

 Differenciál, a függvény megváltozásának közelítése differenciállal. {3.8}

[Newton-módszer gyökkeresésre. {4.7}]

Primitív függvény:  

A primitív függvény alaptulajdonságai, kiszámításának néhány módszere (f'/f, f'f^d, lineáris helyettesítés). {4.8, 5.5}

Parciális integrálás. {8.2}

[Helyettesítéses integrálás.{5.5}]

Az alapintegrálok táblázata. {4.8, 8.1, táblázat a II. kötet végén}

Trigonometrikus integrálok. {8.4}

Racionális törtfüggvények integrálása (maradékos osztás a számláló fokszámának csökkentésére, teljes négyzetté kiegészítés, parciális törtekre bontás). {8.3}

Határozott integrál:

Felosztás finomsága, alsó és felső közelítő összegek tulajdonságai. Integrálhatóság, integrál. Integrálható függvények
jellemzése alsó és felső közelítő összegekkel, oszcillációs összegekkel, integrálközelítő összegekkel. Példa korlátos, de nem integrálható
függvényre. Integrál alaptulajdonságai. {5.3}

Integrálható függvények osztályai: monoton, korlátos, véges sok ilyen darabból álló függvények.

Newton-Leibniz formula. Integrálfüggvény, kapcsolata a primitív függvénnyel. Integrálfüggvényt tartalmazó határértékek. {5.4}


Segédanyagok a vizsgazárthelyikhez:

A két félévközi zh-hoz felsorolt anyagokon túl:

Helyettesítéses integrálás primitív függvényre és határozott integrálra. {5.5, 5.6}

 Racionális törtfüggvényre vezető helyettesítések
R(\sin x, \cos x), R(e^x), R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}), R(x,\sqrt[n]{(a_1 x+b_1)/(a_2 x+b_2)}) integrálásánál. {8.5}

Improprius integrálok típusai. x^{-p} integrálja (0,1)-en és (1,\infty)-n. Improprius integrál felírása a primitív függvénnyel.
Majoráns és minoráns kritérium. {8.8}

Az integrálszámítás alkalmazásai

Két görbe közötti síkidom területe. {5.6}

Forgástest térfogata és forgásfelszíne. {6.1, 6.5}

 Ívhossz, függvénygrafikon hossza. {6.3}

Szektorterület, polárkoordinátás megadású görbe ívhossza.

Korábbi évekből vizsgazh-k:
http://www.math.bme.hu/~horvath/A1vizsga.html

     vizsga1,  vizsga2,  vizsga3