Több, mint fél évszázadon át megoldatlan geometriai sejtést sikerült igazolniuk a BME Matematika Intézet, az ELKH Rényi Intézet, valamint az SZTE Bolyai Intézet  kutatóinak. A Matolcsi Máté, a BME Matematika Intézetének egyetemi tanárának részvételével megvalósuló projektben  az elméleti matematikusok és a mesterséges intelligencia kutatóinak összefogására volt szükség: a bizonyítás a geometria, Fourier analízis, lineáris programozás, gráfelmélet és számítástudomány módszereit ötvözi. Az eredményről júliusban a tudományos ismeretterjesztés nemzetközi etalonjának számító Quanta Magazine is beszámolt [1].

A sík legfeljebb mekkora hányada színezhető ki úgy, hogy két kiszínezett pont nem lehet pontosan egység távolságra egymástól? Ezt a geometriai kérdést Leo Moser fogalmazta meg az 1960-as évek elején. Erdős Pál sejtése szerint ez a hányad nem érheti el az ¼-et; a jelenleg ismert legerősebb, 0.2293 értékű alsó korlátot Hallard Croft 1967-es konstrukciója adja. A problémával kapcsolatban számos kutatócsoport publikált már részeredményeket, amelyek a kezdeti 0.2857-es felsősűrűség-becslést az elmúlt 60 évben fokozatosan 0.2544-ig élesítették. Ambrus Gergely (Szegedi Tudományegyetem és Rényi Intézet), Csiszárik Adrián (Rényi Intézet és Eötvös Loránd Tudományegyetem), Matolcsi Máté (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem és Rényi Intézet), Varga Dániel (Rényi Intézet) és Zsámboki Pál (Rényi Intézet) új eredménye szerint a kérdéses sűrűség nem haladhatja meg a 0.247-et. Az eredményt a rangos, D1-es besorolású Mathematical Programming folyóirat teszi közzé.

Az aktívan kutatott kérdéskört az évtizedek során számos módszerrel vizsgálták. Az Ambrus és Matolcsi által korábban alkalmazott megközelítés F. Vallentin és F. M. Oliveira Filho munkájára építve az eredeti diszkrét geometriai kérdést Fourier-analízis segítségével alakítja át egy lineáris programozási problémává. Ennek köszönhetően sikerült az előzőleg ismert legerősebb becslést bizonyítaniuk, de az Erdős által sejtett 0.25-ös korlát elérése továbbra is távolinak tűnt.

A sejtés bizonyításához szükséges első áttörést az hozta, hogy a kutatók Varga Dániel ötlete alapján kidolgozták a korábban alkalmazott elméleti módszerek egy közös általánosítását. Ennek segítségével egy keresési feladattá redukálták a problémát: Erdős sejtésének bizonyításához elegendő lett egy bizonyos, speciális tulajdonságokkal rendelkező síkbeli ponthalmazt megtalálni. Az elvárt tulajdonságok túl összetettek ahhoz, hogy papír és ceruza segítségével reális legyen a megfelelő ponthalmaz megtalálása. Ezért a keresési problémát a mesterséges intelligencia módszereinek alkalmazásával oldották meg. Ehhez a Rényi Intézet nagy számítási kapacitású számítógépeit vették igénybe, amelyeket a Mesterséges Intelligencia Nemzeti Laboratórium (MILAB) biztosított. Több hónapnyi intenzív kísérletezést követően a számítógép-hálózat végül egy egy hetes keresés során talált egy 23 pontból álló alakzatot, amely alkalmas volt a sejtés bizonyítására [2].

Az intézmények és a tudományterületek közötti sikeres együttműködést a kutatók a továbbiakban is folytatják, céljuk a sík színezéseihez kapcsolódó további problémák vizsgálata.

[1] Mathematicians Solve Long-Standing Coloring Problem. Quanta Magazine

[2] Gergely Ambrus, Adrián Csiszárik, Máté Matolcsi, Dániel Varga, Pál Zsámboki. The density of planar sets avoiding unit distances. https://arxiv.org/abs/2207.14179