Számítási módszerek a fizikában 1 előadás és gyakorlat

Fizikusok Számítási módszerek a fizikában 1 előadása és gyakorlata
2021/2022 I. félévében.



Tárgykövetelmény: BMETE92AF51Kovetelmeny.


A zárthelyi dolgozatok:

A vizsgához tételjegyzék és minimum követelmény.

Gyakorlat anyaga:


Hét: Gyakorló példasor:
1. hét - -
2. hét Alapműveletek komplex számokkal, hatványozás, egyszerűbb egyenletek megoldása. pdf
3. hét Hatványozás, gyökvonás, exponenciális és logaritmus műveletek komplex számokkal. pdf
4. hét Polinomok osztása. Elemi vektorműveletek az $\mathbb{R}^{n}$ térben. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. A Kronecker-delta ($\delta_{ij}$) és a Levi-Civita szimbólum ($\varepsilon_{ijk}$). pdf
5. hét A tér affin alakzatainak felírása és egymástól vett távolságuk. A tér elemi lineáris transzformációinak a felírása. pdf
6. hét Skaláris szorzás, lineáris altér, lineáris függetlenség és a Gram-Schmidt-ortogonalizáció. pdf
7. hét Magtér, képtér és rang. Mátrixok összege és szorzata. pdf
8. hét Determináns és mátrix invertálás. pdf
9. hét Egyenletrendszerek. pdf
10. hét Báziscsere transzformáció, sajátértékek és sajátvektorok. pdf
11. hét Normális mátrix diagonalizálása, spektrálfelbontása és függvényei. pdf
12. hét Jordan-blokk függvénye, pozitív operátorok. pdf
13. hét Mátrix rangja. Válogatott témák a félévből. pdf
14. hét Gyakorlatvezetőkre bízva. Javasol témák: rugós rendszerek sajátrezgései; a félévben kimaradt példák megoldása; minta írásbeli vizsga megoldása; az eddig tanultak kapcsolata a kvantummechanikával.

Előadás anyaga:


Hét: Említett témák: Javasolt feladatok:
1. hét - -
2. hét Valós számok műveletei és axiómái. Valós számok elemi tulajdonságai. Komplex számok algebrai alakja. Komplex szám valós és képzetes része, konjugáltja, valamint abszolút értéke. Komplex számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa. A rendezés nem általánosítható a komplex számtestre. Komplex sor határértéke. Az exponenciális, a szinusz, koszinusz, hiperbolikus szinusz és hiperbolikus koszinusz függvény definíciója hatványsorral. Euler-formula. Trigonometrikus függvények felírása exponenciálissal. Addíciós tételek trigonometrikus függvényekre. Komplex szám trigonometrikus alakja és exponenciális alakja. Matematika Feladatgyűjtemény I.
6. fejezet
7-12, 16-21, 33-47, 143-148, 152-157, 169, 170, 177, 181-183.
3. hét Addíciós tételek az sh és ch függvényekre. A tg és th definiálása, valamint addíciós tételek függvényekre. Arcsin és arccos definiálása. Algebrai alakban felírt komplex szám esetén a sin, cos, tg, sh, ch és th meghatározása. Arsh, Arch függvények. Hatványozás. Komplex számok szorzása és hatványozása exponenciális alakban. Komplex szám logaritmusa. Komplex szám komplex hatványra emelése. Komplex szám n-edik gyöke, ahol n természetes szám.
4. hét Polinomok: Algebra alaptétele: n-ed fokú polinomnak pontosan n gyöke van multiplicitással számolva. (Bizonyítás nélkül.) Polinomok maradékos osztása.
Lagrange-interpoláció: A Lagrange-féle alappolinomok segítségével n-pontra egy legfeljebb (n-1)-ed fokú polinom illesztése. Az algebra alaptétele miatt pontosan egy ilyen illeszkedő polinom van.
Vektorok: Az $\mathbb{R}^{n}$ vektorainak összege, számszorosa és skaláris szorzata (koordinátákkal definiálva). Vektorok által bezárt szög (a skaláris szorzáson keresztül definiálva.) Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. i,j,k egységvektorok az $\mathbb{R}^{3}$ térben. Az $\mathbb{R}^{3}$ térben: vektoriális szorzás, vegyes szorzat és ezek szemléletes jelentése. Kronecker-delta és a Levi-Civita szimbólum. Az $\mathbb{R}^{n}$ térben a vektoriális szorzat és a vegyes szorzat felírása a Levi-Civita szimbólummal. 		Matematika Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet
51-126.
5. hét Az $\mathbb{R}^{3}$ térben: az egyenes és a sík egyenlete. Pontok, egyenesek és síkok egymástól való távolsága. Vektorok lineáris függetlensége és a bázis fogalma az $\mathbb{R}^{n}$ térben. Az $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ lineáris leképezések fogalma és alaptulajdonságai. Lineáris leképezés mátrixa adott bázisban. Adott síkra való vetítés/tükrözés, adott egyenesre való vetítés/tükrözés, adott síkban való forgatás mátrixa az $\mathbb{R}^{3}$ kanonikus bázisában. Matematika Feladatgyűjtemény I.
5. fejezet
1-90.
6. hét Absztrakt vektortér fogalma az $\mathbb{R}$ és a $\mathbb{C}$ számtest felett. Vektorok lineáris kombinációja, lineáris függetlensége és lineáris burka. Lineáris altér. Bázis. Minden vektortérben létezik bázis. (Bizonyítás nélkül.) Vektortérben két bázis elemszáma azonos. (Bizonyítás nélkül.) Dimenzió. Skaláris szorzás. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög. Norma. Gram-Schmidt ortogonalizáció. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer. Vektor kifejtése oronormált bázisban. Pitagorasz tétel véges dimenzióban. Lineáris leképezés. Lineáris leképezés képtere és magtere. Matematika Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet
36, 37.
Matematika Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet
1-35.
7. hét Bázison adott leképezés egyértelműen kiterjeszthető lineáris leképezéssé. Adott $U$ és $V$ vektorterek esetén $\mathrm{Lin}(U,V)$ is vektortér. Az $U$ és a $V$ vektortérben adott bázis esetén az $A\in\mathrm{Lin}(U,V)$ lineáris leképezés mátrixa. Mátrixműveletek kompatibilitása a lineáris leképezések műveleteivel. Lineáris leképezés rangja. Dimenziótétel. Véges dimenziós vektortér koordinátázása bázis segíségével. Négyzetes mátrix nyoma és a nyom tulajdonságai. Négyzetes mátrix adjungáltja és az adjungált tulajdonságai. Matematika Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet
1-10, 14-18, 80-99.
8. hét Minkowski-egyenlőtlenség. p-normák. Az $\{1,\dots,n\}$ halmaz permutációi ($\mathrm{Perm}(n)$). Csoport. Permutációk csoportot alkotnak a kompozíció művelettel. Transzpozíció. Minden véges halmaz permutációja transzpozíciók kompozíciója. Létezik egyetlen olyan $\varepsilon:\mathrm{Perm}(n)\to\{-1,1\}$ csoporthomomorfizmus, mely minden permutációhoz a $-1$ értéket rendeli. Az $\varepsilon$ függvény neve előjel függvény. Mátrix determinánsa és a determináns alaptulajdonságai. Mátrix invertálása aldetermináns segítségével. Invertálhatóság jellemzése determinánssal. Matematika Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet
36-58, 63, 64, 73, 74.
9. hét Lineáris egyenletrendszer felírása vektorral és lineáris leképezéssel. Homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszer. Elemi sorműveletek. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-Jordan-eliminációval. Lineáris egyenletrendszer lépcsős alakja. Elemi sorműveletekkel bármely mátrix redukált lépcsős alakra hozható. Mátrix invertálása Gauss-Jordan-eliminációval. Matematika Feladatgyűjtemény II.
20. fejezet
16-39, 42-77.
10. hét Báziscsere transzformáció. Mátrixok speciális típusai: önadjungált, normális, ortogonális, unitér, projekció, idempotens és nilpotens. Mátrix adjungáltjának jellemzése skaláris szorzással. Ha az $A,B:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ lineáris leképezésre $BA=\mathrm{id}_{\mathbb{K}^{n}}$ teljesül, akkor $AB=\mathrm{id}_{\mathbb{K}^{n}}$. Az $A:\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}^{n}$ lineáris leképezés normálisságának, önadjungáltságának, unitérségének jellemzése normákkal és skaláris szorzatokkal. Algebra, egységelemes algebra. Elem spektruma egységelemes algebrában. Az $A:V\to V$ lineáris leképezés sajátértéke, sajátvektora és sajátaltere. Mátrixalgebrában a spektrum megegyezik a sajátértékek halmazával. Önadjungált, unitér, projekció és idempotens elem spektrumának tulajdonságai. Komplex számtest feletti mátrixalgebrában a mátrix spektruma nem üres. Matematika Feladatgyűjtemény II.
21. fejezet
Példák sorszáma: 70-75.
Matematika Feladatgyűjtemény II.
20. fejezet
Példák sorszáma: 78-115.
11. hét Normális mátrix különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok merőlegesek egymásra. Ha $N$ normális mátrixra, $v$ vektorra és $\lambda$ számra $Nv=\lambda v$ teljesül, akkor $N^{*}v=\bar{\lambda}v$. Mátrixalgebrában minden normális operátornak létezik olyan sajátvektor rendszere, amely ONB. Minden normális operátor diagonalizálható. Mátrixalgebrában $A$ normális operátor és $f:\mathrm{Sp} A\to\mathbb{C}$ függvény esetén $f(A)$ értelmezése és kiszámítása. Vektortér kiegészítő lineáris alterei. Lineáris operátor invariáns altere. Ha $A\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ és $\lambda\in\mathbb{C}$ sajátértéke az $A$ mátrixnak, valamint \begin{equation*} U=\left\{v\in\mathbb{C}^{n}\vert\ \exists j\in\mathbb{N}:\ (A-\lambda)^{j}v=0\right\}, \end{equation*} akkor létezik olyan $r\in\mathbb{N}$, melyre $U=\mathrm{Ker}(A-\lambda)^{r}$ és \begin{equation*} \mathbb{C}^{n}=\mathrm{Ker}(A-\lambda)^{r}\oplus\mathrm{Ran}(A-\lambda)^{r}. \end{equation*} Ha $A\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ és $\lambda_{1},\dots,\lambda_{k}\in\mathbb{C}$ olyan páronként különböző sajátértékei az $A$ mátrixnak, hogy $\left\{\lambda_{1},\dots,\lambda_{k}\right\}=\mathrm{Sp}(A)$, akkor léteznek olyan $r_{1},\dots,r_{k}\in\mathbb{N}$ számok, hogy \begin{equation*} \mathbb{C}^{n}=\mathrm{Ker}(A-\lambda_{1})^{r_{1}}\oplus\dots\oplus\mathrm{Ker}(A-\lambda_{k})^{r_{k}}. \end{equation*} Ha $N\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ olyan nilpontens operátor, melyre $N^{r}=0$ és $N^{r-1}\neq 0$, akkor \begin{equation*} \mathrm{Ker} N\subsetneq\mathrm{Ker} N^{2}\subsetneq\dots\subsetneq\mathrm{Ker} N^{r-1} \subsetneq\mathrm{Ker} N^{r}=\mathbb{C}^{n}. \end{equation*} Ha $N\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ nilpontens operátor, akkor léteznek olyan $u_{1},\dots,u_{k}\in\mathbb{C}^{n}$ vektorok és $b_{1},\dots,b_{k}\in\mathbb{N}$ számok, hogy \begin{equation*} u_{1},Nu_{1},\dots,N^{b_{1}}u_{1},u_{2},Nu_{2},\dots,N^{b_{2}}u_{2}, \dots,u_{k},Nu_{k},\dots,N^{b_{k}}u_{k} \end{equation*} bázis a $\mathbb{C}^{n}$ vektortérben, valamint $N^{b_{1}+1}u_{1}=N^{b_{2}+1}u_{2}=\dots=N^{b_{k}+1}u_{k}=0$.
12. hét Jordan-blokk. Blokkdiagonális mátrix. Jordan-mátrix. Minden $N\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ nilpontens mátrixhoz létezik olyan bázis, melyben a mátrixa Jordan-mátrix. Minden komplex mátrixhoz létezik olyan bázis, melyben a mátrixa Jordan-mátrix. Jordan-blokk hatványozása. Komplex mátrixalgebrában az $A$ operátor és $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ analitikus függvény esetén $f(A)$ értelmezése és kiszámítása. Normális operátor spektrálfelbontása. A $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ skalárszorzatos téren értelmezett $A:V\to V$ önadjungált operátor pozitív/negatív, pozitív/negatív definit és indefinit volta.} Adott $A$ és $B$ önadjungált operátorok esetén $0\leq A$ és $A\leq B$ értelmezése. Az önadjungált operátorok halmazán bevezetett $\leq$ reláció rendezés. Minden $A\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ mátrixra az alábbi kijelentések ekvivalensek.
1. $0\leq A$
2. $\displaystyle\exists a_{1},\dots,a_{n}\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i}^{*}$
3. $\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ A=aa^{*}$
4. $\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ a=a^{*},\ A=a^{2}$
5. $A=A^{*},\ \mathrm{Sp}(A)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}$
Kúp a vektortérben. A $\mathrm{Mat}(n,\mathbb{K})$ térben a pozitív operátorok kúpot alkotnak. Az n-monoton és az operátor monoton függvények fogalma. Jacobson-lemma. Minden $A,B\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{K})$ mátrixra $\mathrm{Sp}(AB)=\mathrm{Sp}(BA)$.
13. hét Mátrix oszlop rangja, sor rangja és determináns rangja. Mátrix oszlop rangja, sor rangja és determináns rangja megegyezik. Blokk mátrix. Mátrixműveletek blokk mátrixokkal. A $2\times 2$-es blokk mátrix determinánsa invertálható bal felső elem esetén. Stokes-paraméterezése a qbit állapotterének.
14. hét Sylvester tétele mátrix pozitív definitségének jellemzéséről. Az előadáson említett pár példa megoldása. Kvantummechanika alapfogalmai a mátrixok nyelvén.