Számítási módszerek a fizikában 1

Számítási módszerek a fizikában 1 előadás és gyakorlat

Fizikusok Számítási módszerek a fizikában 1 előadása és gyakorlata
2022/2023 I. félévében.

Tárgykövetelmény: BMETE92AF51Kovetelmeny.

Zárthelyi dolgozatok:

Vizsgához: tételjegyzék és minimum követelmény.

Gyakorlat anyaga:

Hét:	Gyakorló példasor:
1. hét	Elmarad.
2. hét	Alapműveletek komplex számokkal, hatványozás, egyszerűbb egyenletek megoldása.	pdf
3. hét	Hatványozás, gyökvonás, exponenciális és logaritmus műveletek komplex számokkal.	pdf
4. hét	Polinomok osztása. Elemi vektorműveletek az $\mathbb{R}^{n}$ térben. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. A Kronecker-delta ($\delta_{ij}$) és a Levi-Civita szimbólum ($\varepsilon_{ijk}$).	pdf
5. hét	A tér affin alakzatainak felírása és egymástól vett távolságuk. A tér elemi lineáris transzformációinak a felírása.	pdf
6. hét	Skaláris szorzások vektortereken. Lineáris alterek. Lineáris függetlenség. Gram-Schmidt-ortogonalizáció. Lineáris leképezés képtere és magtere.	pdf
7. hét	Lineáris leképezés rangja. Mátrixok hatványozása. Lineáris leképezések mátrixa.	pdf
8. hét	Determináns, mátrix invertálása és lineáris egyenletrendszerek.	pdf
9. hét	Báziscsere transzformáció, sajátértékek és sajátvektorok.	pdf
10. hét	Normális mátrix diagonalizálása, spektrálfelbontása és függvényei.	pdf
11. hét	Oktatási szünet.
12. hét	Normális mátrix függvényei, rendezés az önadjungált operátorok halmazán és a sajátértékszámítás egy dinamikai alkalmazása.	pdf
13. hét	Kvadratikus kifejezések, Pauli-mátrixok és speciális mátrixcsoportok. Galilei-csoport mint (blokk) mátrix csoport.	pdf
14. hét	Perturbációszámítás.	pdf

Előadás anyaga:

Hét:	Említett témák:	Javasolt feladatok:
1. hét	Elmarad.
2. hét	Valós számok műveletei és axiómái. Valós számok elemi tulajdonságai. Komplex számok algebrai alakja. Komplex szám valós és képzetes része, konjugáltja, valamint abszolút értéke. Komplex számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa. A rendezés nem általánosítható a komplex számtestre. Komplex sor határértéke. Az exponenciális, a szinusz és a koszinusz függvény definíciója hatványsorral. Euler-formula. Trigonometrikus függvények felírása exponenciálissal. Addíciós tételek trigonometrikus függvényekre. Komplex szám trigonometrikus alakja és exponenciális alakja.	Matematika Feladatgyűjtemény I. 6. fejezet 7-12, 16-21, 33-47, 143-148, 152-157, 169, 170, 177, 181-183.
3. hét	A hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz függvény definíciója hatványsorral. Addíciós tételek az sh és ch függvényekre. A tg és th definiálása, valamint addíciós tételek ezen függvényekre. Arcsin, arccos és arctg definiálása. Algebrai alakban felírt komplex szám esetén a sin, cos, tg, sh, ch és th meghatározása. Arsh, arch és arch függvények. Hatványozás. Komplex számok szorzása és hatványozása exponenciális alakban. Komplex szám logaritmusa. Komplex szám komplex hatványra emelése. Komplex szám n-edik gyöke, ahol n természetes szám.
4. hét	Polinomok: Algebra alaptétele: n-ed fokú polinomnak pontosan n gyöke van multiplicitással számolva. (Bizonyítás nélkül.) Polinomok maradékos osztása. Lagrange-interpoláció: A Lagrange-féle alappolinomok segítségével n-pontra egy legfeljebb (n-1)-ed fokú polinom illesztése. A polinom egütthatói és gyökei közötti összefüggések. Vektorok: Az $\mathbb{R}^{n}$ vektorainak összege, számszorosa és skaláris szorzata (koordinátákkal definiálva). Vektorok által bezárt szög (a skaláris szorzáson keresztül definiálva.) Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Az i,j,k egységvektorok az $\mathbb{R}^{3}$ térben. Az $\mathbb{R}^{3}$ térben: vektoriális szorzás, vegyes szorzat és ezek szemléletes jelentése. Az $\mathbb{R}^{3}$ térben: az egyenes és a sík egyenlete. Pontok, egyenesek és síkok egymástól való távolsága. Kronecker-delta és a Levi-Civita szimbólum. Az $\mathbb{R}^{3}$ térben a vektoriális szorzat és a vegyes szorzat felírása a Levi-Civita szimbólummal. Vektorok lineáris függetlensége és a bázis fogalma az $\mathbb{R}^{n}$ térben. Az $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ lineáris leképezések fogalma és alaptulajdonságai. Lineáris leképezések összege, számszorosa és szorzata. Mátrixok összeadása, szorzása és számszorosa.	Matematika Feladatgyűjtemény I. 4. fejezet: 51-126. 5. fejezet: 1-90.
5. hét	Adott síkra való vetítés/tükrözés, adott egyenesre való vetítés/tükrözés, adott síkban való forgatás mátrixa az $\mathbb{R}^{3}$ kanonikus bázisában. Absztrakt vektortér fogalma az $\mathbb{R}$ és a $\mathbb{C}$ számtest felett. Vektorok lineáris kombinációja, lineáris függetlensége és lineáris burka. Lineáris altér. Bázis. Minden vektortérben létezik bázis. (Bizonyítás nélkül.) Vektortérben két bázis elemszáma azonos. (Bizonyítás nélkül.) Dimenzió. Skaláris szorzás. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög.	Matematika Feladatgyűjtemény I. 4. fejezet: 36, 37. Matematika Feladatgyűjtemény II. 19. fejezet: 1-35.
6. hét	Norma. A $\Vert\cdot\Vert_{p}$ ($1\leq p$) és a $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$ norma az $\mathbb{R}^{n}$ téren. Gram-Schmidt ortogonalizáció. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer. Vektor kifejtése oronormált bázisban. Pitagorasz tétel véges dimenzióban. Lineáris leképezés definíciója. Lineáris leképezések összege, számszorosa és szorzata. Adott $U$ és $V$ vektorterek esetén $\mathrm{Lin}(U,V)$ is vektortér. Lineáris leképezés képtere és magtere. A képtér és a magtér lineáris altér. Az $U$ és a $V$ vektortérben adott bázis esetén az $A\in\mathrm{Lin}(U,V)$ lineáris leképezés mátrixa. Mátrixműveletek kompatibilitása a lineáris leképezések műveleteivel. Lineáris leképezés rangja. Dimenziótétel. Négyzetes mátrix nyoma és a nyom tulajdonságai.	Matematika Feladatgyűjtemény II. 19. fejezet: 80-99.
7. hét	Négyzetes mátrix transzponáltja és a transzponált tulajdonságai. Vektortér duálisa. Riesz-féle reprezentációs tétel véges dimenziós skalárszorzatos vektortéren. Négyzetes mátrix adjungáltja és az adjungált tulajdonságai. Az adjungált jellemzése skaláris szorzással. Önadjungált és normális mátrixok fogalma. Az $\{1,\dots,n\}$ halmaz permutációi ($\mathrm{Perm}(n)$). Csoport. Permutációk csoportot alkotnak a kompozíció művelettel. Transzpozíció. Minden véges halmaz permutációja transzpozíciók kompozíciója. Létezik egyetlen olyan $\varepsilon:\mathrm{Perm}(n)\to\{-1,1\}$ csoporthomomorfizmus (előjel függvény), mely minden transzpozícióhoz a $-1$ értéket rendeli. Mátrix determinánsa és a determináns alaptulajdonságai.	Matematika Feladatgyűjtemény II. 19. fejezet 36-58, 63, 64, 73, 74.
8. hét	Determinánsra vonatkozó sorok és oszlopok szerinti kifejtési tétel. Mátrix invertálása aldetermináns segítségével. Mátrix invertálhatóságának jellemzése determinánssal. Lineáris egyenletrendszer felírása vektorral és lineáris leképezéssel. Homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszer. Elemi sorműveletek. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-Jordan-eliminációval. Lineáris egyenletrendszer lépcsős alakja. Elemi sorműveletekkel bármely mátrix redukált lépcsős alakra hozható. Mátrix invertálása Gauss-Jordan-eliminációval. Az $A:V\to V$ lineáris leképezés sajátértéke, sajátvektora és sajátaltere.	Matematika Feladatgyűjtemény II. 20. fejezet 16-39, 42-115.
9. hét	Báziscsere transzformáció. Mátrixalgebra kapcsán az algebra és az egységelemes algebra fogalma. Elem spektruma egységelemes algebrában. Mátrixalgebrában a spektrum megegyezik a sajátértékek halmazával.	Matematika Feladatgyűjtemény II. 21. fejezet 70-75.
10. hét	Komplex számtest feletti mátrixalgebrában a mátrix spektruma nem üres. Mátrixok speciális típusai: önadjungált, normális, ortogonális, unitér, projekció, idempotens, nilpotens és pozitív. Normális mátrix különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok merőlegesek egymásra. Ha $N$ normális mátrixra, $v$ vektorra és $\lambda$ számra $Nv=\lambda v$ teljesül, akkor $N^{}v=\bar{\lambda}v$. Komplex számtest feletti mátrixalgebrában minden normális operátornak létezik olyan sajátvektor rendszere, amely ONB. A $V$ skalárszorzatos vektortéren egy $A:V\to V$ lineáris leképezés pontosan akkor normális, ha létezik olyan $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ ortonormált bázis a $\mathbb{K}^{n}$ térben és az $A$ sajátértékeinek olyan $(\lambda_{i})_{i=1,\dots,n}$ rendszere, hogy minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}$ teljesül. Legyen $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ normális operátor, $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ olyan ortonormált bázis a $\mathbb{K}^{n}$ térben és $(\lambda_{i})_{i=1,\dots,n}$ a sajátértékek olyan rendszere, hogy minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}$ teljesül. Ha minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $P_{i}$ jelöli az $e_{i}$ vektor által meghatározott altérre való ortogonális projekciót, akkor $\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$ teljesül. Az $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ normális operátors spektrálfelbontása az $\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$ formában való felírása. Minden normális operátor diagonalizálható. Mátrixalgebrában $A$ normális operátor és $f:\mathrm{Sp} A\to\mathbb{C}$ függvény esetén $f(A)$ értelmezése és kiszámítása. Az $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ normális leképezésre az alábbiak teljesülnek. \begin{equation} \begin{array}{ll} 1. & A\ \mbox{önadjungált} \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{Sp} A\subseteq\mathbb{R} \\ 2. & A\ \mbox{pozitív} \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{A}\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}\\ 3. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{A}\subseteq\mathbb{T} \\ 4. & A\ \mbox{projekció} \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{A}\subseteq\{0,1\} \end{array} \end{equation*} Polarizációs formula: Az $A:\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}^{n}$ lineáris leképezésre minden $x,y\in\mathbb{C}^{n}$ esetén $$\langle y,Ax\rangle =\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}\mathrm{i}^{k}\langle x+\mathrm{i}^{k}y,A(x+\mathrm{i}^{k}y)\rangle.$$
11. hét	A $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ skalárszorzatos téren értelmezett $A:V\to V$ operátor pontosan akkor pozitív, ha minden $x\in V$ esetén $\langle x,Ax\rangle\geq 0$. Adott $A$ és $B$ önadjungált operátorok esetén $0\leq A$ és $A\leq B$ értelmezése. Az önadjungált operátorok halmazán bevezetett $\leq$ reláció rendezés. Minden $A\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ mátrixra az alábbi kijelentések ekvivalensek. 1. $0\leq A$ 2. $\displaystyle\exists a_{1},\dots,a_{n}\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i}^{}$ 3. $\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ A=aa^{}$ 4. $\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ a=a^{},\ A=a^{2}$ 5. $A=A^{},\ \mathrm{Sp}(A)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}$ Az n-monoton és az operátor monoton függvények fogalma.
12. hét	Kúp a vektortérben. A $\mathrm{Mat}(n,\mathbb{K})$ térben a pozitív operátorok kúpot alkotnak. A $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ skalárszorzatos téren értelmezett $A:V\to V$ önadjungált operátor pozitív/negatív, pozitív/negatív definit és indefinit volta. Blokk mátrix fogalma és mátrixműveletek blokk mátrixokkal. A $2\times 2$-es blokk mátrix determinánsa invertálható bal felső elem esetén: $$\det\begin{pmatrix} A&B\\C&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D-CA^{-1}B).$$ Sylvester tétele: Legyen $A$ egy $n\times n$-es önadjungált mátrix és legyen $A_{k}$ az $A$ mátrix bal felső $k\times k$ méretű almátrixa. Az $A$ mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha minden $k\in\left\{1,2,\dots,n\right\}$ esetén $\det(A_{k})>0$ teljesül. A qubitek terének Stokes-paraméterezése. Mátrix oszlop rangja, sor rangja és determináns rangja. Mátrix oszlop rangja, sor rangja és determináns rangja megegyezik.
13. hét	Az $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\langle x,Ax\rangle+\langle b,x\rangle+c$ függvény átírása $f(x+z)=\langle x,Ax\rangle+c'$ alakra egy megfelelő $z$ vektorral. Az $R\in\mathbb{R}^{+}$ sugarú $\mathbb{R}^{n}$ térben lévő euklidészi gömb térfogata.
14. hét	Az $A:\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}^{n}$ lineáris leképezésre az alábbiak teljesülnek. \begin{equation} \begin{array}{ll} i. & A\ \mbox{normális} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{C}^{n}:\ \\|AX\\|=\\|A^{}x\\| \\ ii. & A\ \mbox{önadjungált} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{C}^{n}:\ \langle x,Ax\rangle\in\mathbb{R} \\ iii. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x,y\in\mathbb{C}^{n}:\ \langle Ax,Ay\rangle=\langle Ax,Ay\rangle \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{C}^{n}:\ \\|Ax\\|=\\|x\\| \\ iiii. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \forall (e_{i})_{i=1,\dots,n}\ \mbox{ONB}:\ (Ae_{i})_{i=1,\dots,n}\ \mbox{ONB}. \end{array} \end{equation*} Jacobson-lemma: Ha $\mathcal{A}$ egységelemes algebra, akkor minden $a,b\in\mathcal{A}$ elemre $$\left\{0\right\}\cup\mathrm{Sp}(ab)=\left\{0\right\}\cup\mathrm{Sp}(ba).$$ Önadjungált nemdegenerált perturbált mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak közelítése a perturbációszámítás első rendjében.