Számítási módszerek a fizikában 1 előadás és gyakorlat
Fizikusok Számítási módszerek a fizikában 1 előadása és gyakorlata
2023/2024 I. félévében.
Tárgykövetelmény: BMETE92AF51Kovetelmeny.
Zárthelyi dolgozatok:
Vizsgához: tételjegyzék és minimumkövetelmény.
Gyakorlat anyaga:
| Hét: | Gyakorló példasor: | |
|---|---|---|
| 1. hét | Elemi matematikai függvények és tulajdonságaik, egyenletek egyenlőtlenségek és alkalmazásaik | |
| 2. hét | Alapműveletek komplex számokkal, hatványozás és egyszerűbb egyenletek megoldása | |
| 3. hét | Komplex számok trigonometrikus alakja, logaritmusa, hatványozása és trigonometrikus függvényei | |
| 4. hét | Komplex számok alkalmazása a geometriában, transzformációk leírásában és relativisztikus dinamikában | |
| Polinomok osztása, gyökök és együtthatók közötti összefüggés és $\mathbb{R}^{3}$ elemi mûveletei | ||
| 5. hét | A tér affin alakzatainak felírása, ezek egymástól vett távolságuk és a tér elemi lineáris transzformációinak a felírása | |
| 6. hét | Lineáris alterek, elemi mátrixmûveletek és lineáris transzformációk mátrixa | |
| 7. hét | Skalárszorzatos vektorterek és lineáris leképezések rangja | |
| 8. hét | Determináns, mátrix invertálása és egyenletrendszerek | |
| 9. hét | Báziscsere transzformáció | |
| 10. hét | Sajátérték és sajátvektor | |
| 11. hét | Oktatási szünet. | |
| 12. hét | Mátrixfüggvények | |
| 13. hét | Rendezés a mátrixokon, kvadratikus kifejezések és rugós rendszerek | |
| 14. hét | Mátrixcsoportok és perturbációszámítás | |
Előadás anyaga:
| Hét: | Említett témák: | Javasolt feladatok: |
|---|---|---|
| 1. hét | Elemi matematikai jelek (és, vagy, nem, minden, létezik), valamint halmazelméleti jelölések (eleme, unió, metszet, különbség, részhalmaz, hatványhalmaz). Valós számok műveletei és axiómái. Valós számok elemi tulajdonságai. | |
| 2. hét | Komplex számok algebrai alakja. Komplex szám valós és képzetes része, konjugáltja, valamint abszolút értéke. Komplex számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa. A rendezés nem általánosítható a komplex számtestre. Komplex sor határértéke. Az exponenciális, a (hiperbolikus) szinusz , a (hiperbolikus) koszinuszés és a (hiperbolikus) tangens függvény definíciója hatványsorral. Euler-formula. Trigonometrikus függvények felírása exponenciálissal. Addíciós tételek (hiperbolikus) trigonometrikus függvényekre. | Matematika Feladatgyűjtemény I. 6. fejezet 7-12, 16-21, 33-47, 143-148, 152-157, 169, 170, 177, 181-183. |
| 3. hét | Komplex szám trigonometrikus alakja és exponenciális alakja. Algebrai alakban felírt komplex szám esetén a $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ meghatározása. Az $\mathrm{arcsin}$, $\mathrm{arccos}$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arsh}$, $\mathrm{arch}$ és $\mathrm{arth}$ függvények definiálása. Komplex számok szorzása és hatványozása exponenciális alakban. Komplex szám logaritmusa. Komplex szám komplex hatványra emelése. Komplex szám $n$-edik gyöke, ahol $n\in\mathbb{N}$. | |
| 4. hét |
Polinomok fogalma a $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ vagy $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) számtest felett.
Polinom foka.
Polinomok összege, számszorosa és szorzata.
Ha $p$ polinom és $x_{0}\in\mathbb{K}$, akkor létezik olyan $q$ polinom, hogy minden
$x\in\mathbb{K}$ esetén $p(x)=(x-x_{0})q(x)+p(x_{0})$ teljesül.
Polinomok maradékos osztása.
Algebra alaptétele: minden $\mathbb{C}$ számtest feletti legfeljebb elsőfokú polinomnak létezik gyöke a komplex számok körében (bizonyítás nélkül). Polinom gyökének multiplicitása. Minden $\mathbb{C}$ számtest feletti $n$-ed fokú polinomnak pontosan $n$ gyöke létezik a komplex számok körében a gyököket multiplicitással számolva. Minden $p$ polinom egyértelműen felírható $\displaystyle p(x)=\prod_{i=1}^{N}(x-x_{i})^{k_{i}}$ alakban, ahol $x_{1},\dots,x_{N}\in\mathbb{K}$, $k_{1},\dots,k_{N}\in\mathbb{N}^{+}$ olyan, hogy $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}k_{i}=n$ teljesül. A polinom egütthatói és gyökei közötti összefüggések. Lagrange-interpoláció: A Lagrange-féle alappolinomok segítségével $n$ (különböző $x$ koordinátájú) pontra pontosan egy legfeljebb $(n-1)$-ed fokú polinom illeszthető. Az $\mathbb{R}^{3}$ tér elemi vektormûveletei: az $\mathbb{R}^{3}$ tér vektorainak összege, számszorosa és skaláris szorzata (koordinátákkal definiálva). Az $\mathrm{i}$, $\mathrm{j}$ és $\mathrm{k}$ egységvektorok az $\mathbb{R}^{3}$ térben. Az $\mathbb{R}^{3}$ térben vektoriális szorzás és vegyes szorzat. A $\delta_{ik}$ és $\varepsilon_{ijk}$ szimbólumok. A vektoriális szorzás felírása az $\varepsilon_{ijk}$ szimbólummal. |
Matematika Feladatgyűjtemény I. 4. fejezet: 51-126. 5. fejezet: 1-90. |
| 5. hét | Az $\mathbb{R}^{3}$ térben a pont, az egyenes és a sík egyenlete és ezen alakzatok egymástól vett távolsága. Az $\mathbb{K}^{n}$ tér elemi műveletei: összeadás, számmal való szorzás, skaláris szorzás és norma. Standard bázis a $\mathbb{K}^{n}$ térben. A skaláris szorzás tulajdonságai. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. A $\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{m}$ lineáris leképezés definíciója. Lineáris leképezés mátrixa a standard bázisban. Elemi mátrixműveletek: összeadás, számmal való szorzás és szorzás. A síkban való forgatás mátrixa. | Matematika Feladatgyűjtemény I. 4. fejezet: 36, 37. Matematika Feladatgyűjtemény II. 19. fejezet: 1-35. |
| 6. hét | Absztrakt vektortér fogalma az $\mathbb{R}$ és a $\mathbb{C}$ számtest felett. Vektorok lineáris kombinációja és lineáris függetlensége. Lineáris altér. Bázis. Minden vektortérben létezik bázis. (Bizonyítás nélkül.) Vektortérben két bázis elemszáma azonos. (Bizonyítás nélkül.) Dimenzió. Vektortérben vektor felírása adott bázisban egyértelmű. | |
| 7. hét | Skaláris szorzás. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög. Norma. A $\Vert\cdot\Vert_{p}$ ($p\in\left[1,\infty\right[\cup\{\infty\}$) norma az $\mathbb{K}^{n}$ téren. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer. Gram–Schmidt-ortogonalizáció. Vektor kifejtése ortonormált bázisban. Pitagorasz tétel véges dimenzióban. Lineáris leképezés definíciója. Lineáris leképezések összege, számszorosa és szorzata. Adott $U$ és $V$ vektorterek esetén $\mathrm{Lin}(U,V)$ is vektortér. Lineáris leképezés képtere és magtere. A képtér és a magtér lineáris altér. Az $U$ és a $V$ vektortérben adott bázis esetén az $A\in\mathrm{Lin}(U,V)$ lineáris leképezés mátrixa. Mátrixműveletek kompatibilitása a lineáris leképezések műveleteivel. Lineáris leképezés rangja. Dimenziótétel. Négyzetes mátrix nyoma és a nyom tulajdonságai. Négyzetes mátrix transzponáltja és a transzponált tulajdonságai. Vektortér duálisa. Négyzetes mátrix adjungáltja és az adjungált tulajdonságai. | Matematika Feladatgyűjtemény II. 19. fejezet: 80-99. |
| 8. hét | Az $\{1,\dots,n\}$ halmaz permutációi ($\mathrm{Perm}(n)$). Csoport. Permutációk csoportot alkotnak a kompozíció művelettel. Transzpozíció. Létezik egyetlen olyan $\varepsilon:\mathrm{Perm}(n)\to\{-1,1\}$ csoporthomomorfizmus (előjel függvény), mely minden transzpozícióhoz a $-1$ értéket rendeli. Mátrix determinánsa és a determináns alaptulajdonságai. Determinánsra vonatkozó sorok és oszlopok szerinti kifejtési tétel. |
Matematika Feladatgyűjtemény II. 19. fejezet 36-58, 63, 64, 73, 74. |
| 9. hét | Mátrix invertálása aldetermináns segítségével. Mátrix invertálhatóságának jellemzése determinánssal. Lineáris egyenletrendszer felírása vektorral és lineáris leképezéssel. Homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszer. Elemi sorműveletek. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-Jordan-eliminációval. Lineáris egyenletrendszer lépcsős alakja. Elemi sorműveletekkel bármely mátrix redukált lépcsős alakra hozható. Mátrix invertálása Gauss-Jordan-eliminációval. Riesz-féle reprezentációs tétel véges dimenziós skalárszorzatos vektortéren. Az adjungált jellemzése skaláris szorzással. Önadjungált és normális mátrixok fogalma. Báziscsere transzformáció. Az $A:V\to V$ lineáris leképezés sajátértéke és sajátvektora. Az $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ lineáris leképezésnek $\lambda\in\mathbb{K}$ pontosan akkor sajátértéke, ha $\det(A-\lambda)=0$ teljesül. Mátrixalgebra kapcsán az algebra és az egységelemes algebra fogalma. Egységelemes algebrában egy elem spektruma. |
Matematika Feladatgyűjtemény II. 20. fejezet 16-39, 42-77. Matematika Feladatgyűjtemény II. 21. fejezet 70-75. |
| 10. hét |
Mátrixalgebrában a spektrum megegyezik a sajátértékek halmazával.
Komplex számtest feletti mátrixalgebrában a mátrix spektruma nem üres.
Mátrixok speciális típusai: önadjungált, normális, ortogonális, unitér,
projekció, idempotens, nilpotens és pozitív.
Kiegészítő lineáris alterek.
Skalárszorzatos vektortér részhalmazának ortogonálisa.
Lineáris alterek ortogonálisának tulajdonságai.
Vektorok lineáris burka.
A lineáris burok megegyezik a vektorokat tartalmazó lineáris alterek metszetével.
Normális mátrix különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok
merőlegesek egymásra.
Ha $N$ normális mátrixra, $v$ vektorra és $\lambda$ számra
$Nv=\lambda v$ teljesül, akkor $N^{*}v=\bar{\lambda}v$.
Komplex számtest feletti mátrixalgebrában minden normális operátornak létezik olyan
sajátvektor rendszere, amely ONB. A $V$ skalárszorzatos vektortéren egy $A:V\to V$ lineáris leképezés pontosan akkor normális, ha létezik olyan $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ ortonormált bázis a $\mathbb{K}^{n}$ térben és az $A$ sajátértékeinek olyan $(\lambda_{i})_{i=1,\dots,n}$ rendszere, hogy minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}$ teljesül. Legyen $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ normális operátor, $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ olyan ortonormált bázis a $\mathbb{K}^{n}$ térben és $(\lambda_{i})_{i=1,\dots,n}$ a sajátértékek olyan rendszere, hogy minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}$ teljesül. Ha minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $P_{i}$ jelöli az $e_{i}$ vektor által meghatározott altérre való ortogonális projekciót, akkor $\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$ teljesül. Az $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ normális operátors spektrálfelbontása az $\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$ formában való felírása. Minden normális operátor diagonalizálható. Mátrixalgebrában $A$ normális operátor és $f:\mathrm{Sp} A\to\mathbb{C}$ függvény esetén $f(A)$ értelmezése és kiszámítása. |
Matematika Feladatgyűjtemény II. 20. fejezet 78-115. |
| 11. hét |
Az $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ normális leképezésre az alábbiak teljesülnek.
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
1. & A\ \mbox{önadjungált}
\quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{Sp} A\subseteq\mathbb{R} \\
2. & A\ \mbox{pozitív}
\quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{A}\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}\\
3. & A\ \mbox{unitér}
\quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{A}\subseteq\mathbb{T} \\
4. & A\ \mbox{projekció}
\quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{A}\subseteq\{0,1\}
\end{array}
\end{equation*}
Normális mátrixok esetén a karakterisztikus egyenlet együtthatói és a sajátértékek közötti
összefüggések. Polarizációs formula: Az $A:\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}^{n}$ lineáris leképezésre minden $x,y\in\mathbb{C}^{n}$ esetén az alábbi egyenlet teljesül. $$\langle y,Ax\rangle =\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}\mathrm{i}^{k}\langle x+\mathrm{i}^{k}y,A(x+\mathrm{i}^{k}y)\rangle$$ Az $A:\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}^{n}$ lineáris leképezésre az alábbi ekvivalencia teljesül. $$A\neq 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \exists x\in\mathbb{C}^{n}:\ \langle x,Ax\rangle\neq 0 $$ |
|
| 12. hét |
Ha $A$ és $B$ $n\times n$-es mátrix, akkor $\mathrm{Sp}(ab)=\mathrm{Sp}(ba)$. Kitekintés: Jordan-felbontás, bizonyítás nélkül. Ha $A$ $n\times n$-es önadjungált mátrix, akkor minden $t\in\mathbb{R}$ paraméter esetén az $\mathrm{e}^{itA}$ mátrix unitér. Az $A:\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}^{n}$ lineáris leképezésre az alábbiak teljesülnek. \begin{equation*} \begin{array}{ll} 1. & A\ \mbox{normális} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{C}^{n}:\ \|Ax\|=\|A^{*}x\| \\ 2. & A\ \mbox{önadjungált} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{C}^{n}:\ \langle x,Ax\rangle\in\mathbb{R} \\ 3. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x,y\in\mathbb{C}^{n}:\ \langle x,y\rangle=\langle Ax,Ay\rangle \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{C}^{n}:\ \|Ax\|=\|x\| \\ 4. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \forall (e_{i})_{i=1,\dots,n}\ \mbox{ONB}:\ (Ae_{i})_{i=1,\dots,n}\ \mbox{ONB}. \end{array} \end{equation*} A $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ skalárszorzatos téren értelmezett $A:V\to V$ önadjungált operátor pozitív/negatív, pozitív/negatív definit és indefinit volta. Adott $A$ és $B$ önadjungált operátorok esetén $0\leq A$ és $A\leq B$ értelmezése. Az önadjungált operátorok halmazán bevezetett $\leq$ reláció rendezés. Az n-monoton és az operátor monoton függvények fogalma. Blokk mátrix fogalma és mátrixműveletek blokk mátrixokkal. $\det\begin{pmatrix} A & 0\\ C & D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D)$ |
|
| 13. hét |
A $2\times 2$-es blokk mátrix determinánsa invertálható bal felső elem esetén:
$\det\begin{pmatrix} A&B\\C&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D-CA^{-1}B)$. Kúp a vektortérben. A $\mathrm{Mat}(n,\mathbb{K})$ térben a pozitív operátorok kúpot alkotnak. Sylvester tétele: Legyen $A$ egy $n\times n$-es önadjungált mátrix és legyen $A_{k}$ az $A$ mátrix bal felső $k\times k$ méretű almátrixa. Az $A$ mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha minden $k\in\left\{1,2,\dots,n\right\}$ esetén $\det(A_{k})>0$ teljesül. A qubitek terének Stokes-paraméterezése. |
|
| 14. hét |
Minden $A\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ mátrixra az alábbi kijelentések
ekvivalensek. 1. $0\leq A$ 2. $\displaystyle\exists a_{1},\dots,a_{n}\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i}^{*}$ 3. $\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ A=aa^{*}$ 4. $\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ a=a^{*},\ A=a^{2}$ 5. $A=A^{*},\ \mathrm{Sp}(A)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}$ Az $R\in\mathbb{R}^{+}$ sugarú $\mathbb{R}^{n}$ térben lévő euklidészi gömb térfogata. Önadjungált nemdegenerált perturbált mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak közelítése a perturbációszámítás első rendjében. |