Analízis 2

$ \def\N{\mathbb{N}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\C{\mathbb{C}} \def\T{\mathbb{T}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Hi{\mathcal{H}} \def\L{\mathcal{L}} \def\di{\displaystyle} \def\i{\mathrm{i}} \def\Sp{\mathrm{Sp}} \def\vto{\twoheadrightarrow} \def\gz#1{\left( #1\right)} \def\kz#1{\left\lbrace #1\right\rbrace} \def\sz#1{\left\lbrack #1\right\rbrack} \def\abs#1{\left\vert #1\right\vert} \def\norm#1{\left\Vert #1\right\Vert} \def\scal#1{\left\langle #1\right\rangle} $

Analízis 2 előadás és gyakorlat

Matematikusok Analízis 2 előadása és gyakorlata
2025/2026 II. félévében.

Tárgykövetelmény: BMETEAOBsMANL2-00 követelmény.

Az órák helye és ideje:

T0 kurzus, Andai Attila, előadás: hétfő 10.15-11.45 H. 607.
T1 kurzus, Pitrik József, gyakorlat: kedd 10.15-11.45 H.607.

A zárthelyi dolgozatok:

Az 1. zh ideje és helye: 6. hét csütörtök (márc. 26.) 8.15-9.45, E505.
A 2. zh ideje és helye: 12. hét csütörtök (máj. 14.) 8.15-9.45, E505.
Az 1. pzh ideje és helye: ?
A 2. pzh ideje és helye: ?

Az előadások anyaga: Vázlat.
Munkapéldány: 2026.02.16. változat.

Eredmények: Röpzh.

A tervezett minimumkövetelmény: pdf.

Gyakorlat anyaga:

Hét:	Gyakorló példasor:
1. hét	Riemann-integrál közelítő összege, integrálfüggvény	pdf
2. hét	Normált terek topológiája	pdf
3. hét	Operátornorma	pdf

Előadás anyaga:

Hét:	Említett témák:
1. hét	Korlátos függvényhez és felosztáshoz tartozó alsó, felső közelítő összeg és oszcillációs összeg. Riemann-integrálható függvény. Riemann-integrálhatóság kritériumai és a Riemann-integrál tulajdonságai. Minden folytonos és minden monoton függvény Riemann-integrálható. Newton–Leibniz-tétel. Integrálfüggvény és tulajdonságai. Normált tér. Nyílt, zárt, korlátos és kompakt halmaz normált térben. Sorozat határértéke normált térben. Cauchy-sorozat. Banach-tér.
2. hét	Sorok normált terekeben. A sor konvergenciájának szükséges feltétele. Banach-térben minden abszolút konvergens sor konvergens. Normák ekvivalenciája. A $\K^{n}$ téren bármely két norma ekvivalens. Lineáris leképzés folytonosságával ekvivalens állítások. Adott $U$ és $V$ normált tér esetén a folytonos lineáris leképezések $\L(U,V)$ tere. Az $A\in\L(U,V)$ leképezés operátornormája $\di\norm{A}=\sup_{\norm{x}\leq 1}\norm{Ax}$.

Hét:

Említett témák:

1. hét

Korlátos függvényhez és felosztáshoz tartozó alsó, felső közelítő összeg és oszcillációs összeg. Riemann-integrálható függvény. Riemann-integrálhatóság kritériumai és a Riemann-integrál tulajdonságai. Minden folytonos és minden monoton függvény Riemann-integrálható. Newton–Leibniz-tétel. Integrálfüggvény és tulajdonságai.
Normált tér. Nyílt, zárt, korlátos és kompakt halmaz normált térben. Sorozat határértéke normált térben. Cauchy-sorozat. Banach-tér.

2. hét

Sorok normált terekeben. A sor konvergenciájának szükséges feltétele. Banach-térben minden abszolút konvergens sor konvergens. Normák ekvivalenciája. A $\K^{n}$ téren bármely két norma ekvivalens. Lineáris leképzés folytonosságával ekvivalens állítások. Adott $U$ és $V$ normált tér esetén a folytonos lineáris leképezések $\L(U,V)$ tere. Az $A\in\L(U,V)$ leképezés operátornormája $\di\norm{A}=\sup_{\norm{x}\leq 1}\norm{Ax}$.

Irodalom:

Az előadás és gyakorlat anyagához szükséges előismeret: Kalkulus 1, Kalkulus 2;
Az alábbi könyveknek egyes fejezetei remekül lefedik az előadások egy részét:
- Mezei István, Faragó István, Simon Péter: Bevezetés az analízisbe;
- Kristóf János: A matematikai analízis elemei I., A matematikai analízis elemei II., A matematikai analízis elemei III..
- Matolcsi Tamás Analízis sorozatából:
  - Gruber Tibor: Analízis III. Folytonosság;
  - Keresztfalvi Tibor: Analízis IV. Differenciálás;
  - Matolcsi Tamás: Analízis VI. Komplex függvények;
  - Gruber Tibor: Analízis VIII. Funkcionálanalízis;
- R. B. Ash és W.P. Novinger: Complex variables.
Oktatási és tanulási célra ingyenesen elérhető egyéb matematika jegyzetek: math.bme.hu/jegyzetek.