\( \def\N{\mathbb{N}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\C{\mathbb{C}} \def\T{\mathbb{T}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Hi{\mathcal{H}} \def\L{\mathcal{L}} \def\di{\displaystyle} \def\i{\mathrm{i}} \def\Sp{\mathrm{Sp}} \def\Dom{\mathrm{Dom}} \def\Ran{\mathrm{Ran}} \def\vto{\twoheadrightarrow} \def\gz#1{\left( #1\right)} \def\kz#1{\left\lbrace #1\right\rbrace} \def\sz#1{\left\lbrack #1\right\rbrack} \def\abs#1{\left\vert #1\right\vert} \def\norm#1{\left\Vert #1\right\Vert} \def\scal#1{\left\langle #1\right\rangle} \)

Analízis 2 előadás és gyakorlat

Matematikusok Analízis 2 előadása és gyakorlata
2025/2026 II. félévében.



Tárgykövetelmény: BMETEAOBsMANL2-00 követelmény.


Az órák helye és ideje:

A zárthelyi dolgozatok:

Az előadások anyaga: Vázlat.
Munkapéldány: 2026.03.15. változat.


Eredmények: Röpzh.


A tervezett minimumkövetelmény: pdf.


Gyakorlat anyaga:


Hét: Gyakorló példasor:
1. hét Riemann-integrál közelítő összege, integrálfüggvény pdf
2. hét Normált terek topológiája pdf
3. hét Operátornorma pdf
4. hét Skalárszorzatos terek pdf
5. hét Függvénysorozatok és függvénysorok pdf
Haladó példák egyenletes konvergenciára pdf
6. hét Mátrixfüggvények pdf
7. hét Fourier-sor pdf
8. hét Komplex differenciálhatóság és a Cauchy–Riemann egyenletek pdf
9. hét Komplex függvény vonalmenti integrálja és Cauchy integrálformulái pdf
10. hét Valós integrálok meghatározása Cauchy integrálformuláival pdf
11. hét Cauchy integrálformulái, reziduum számítás és Laurent-sorfejtés pdf
12. hét A Fourier-transzformáció egy sajátfüggvénye pdf
13. hét Rouché-tétel, Valós integrálok kiszámítása, Komplex függvénytan néhány alaptétele pdf

Előadás anyaga:


Hét: Említett témák:
1. hét Korlátos függvényhez és felosztáshoz tartozó alsó, felső közelítő összeg és oszcillációs összeg. Riemann-integrálható függvény. Riemann-integrálhatóság kritériumai és a Riemann-integrál tulajdonságai. Minden folytonos és minden monoton függvény Riemann-integrálható. Newton–Leibniz-tétel. Integrálfüggvény és tulajdonságai.
Normált tér. Nyílt, zárt, korlátos és kompakt halmaz normált térben. Sorozat határértéke normált térben. Cauchy-sorozat. Banach-tér.
2. hét Sorok normált terekeben. A sor konvergenciájának szükséges feltétele. Banach-térben minden abszolút konvergens sor konvergens. Normák ekvivalenciája. A $\K^{n}$ téren bármely két norma ekvivalens. Lineáris leképzés folytonosságával ekvivalens állítások. Adott $U$ és $V$ normált tér esetén a folytonos lineáris leképezések $\L(U,V)$ tere. Az $A\in\L(U,V)$ leképezés operátornormája $\di\norm{A}=\sup_{\norm{x}\leq 1}\norm{Ax}$.
3. hét Operátornorma tulajdonságai. Ha $V$ Banach-tér, akkor $\L(U,V)$ is Banach-tér. Carl Neumann-sorfejtés. Ha $V$ Banach-tér, akkor $\L(V,V)$ térben az invertálható elemek nyílt halmazt alkotnak és az invertálás folytonos függvény.
4. hét Véges dimenziós vektortéren bármely két norma ekvivalens. Véges dimenziós normált téren értelmezett lineáris leképezés folytonos.
Skaláris szorzás. Cauchy–Schwarz–Bunykovszkij-egyenlőtlenség. Skaláris szorzás által indukált norma. Skalárszorzatoks vektortér, Hilbert-tér. Skalárszorzatos vektortérben normált, ortogonális, ortonormált és teljes vektorrendszer. Bessel-egyenlőtlenség és Parseval-egyenlőség.
5. hét Függvénysor és függvénysorozat pontonkénti, egyenletes és lokálisan egyenletes konvergenciája. Folytonos korlátos függvények terén $(C^{\textrm{b}})$ a $\norm{\cdot}_\sup$ norma. Ha $M$ metrikus tér és $V$ Banach-tér, akkor $(C^{\textrm{b}}(M,V),\norm{\cdot}_\sup)$ Banach-tér. Hatványsor és konvergenciasugara. Cauchy–Hadamard-tétel. Ábel-tétel.
6. hét Függvénysor és függvénysorozat tagonkénti integrálása és tagonkénti deriválása. (A függvénysorozat tagonkénti deriválására vonatkozó tétel bizonyítása nem kell.)
Hatványsor tagonkénti integrálása és deriválása.
Mátrixfüggvények: Ha $A$ egy $n\times n$-es normális mátrix és $f:\Sp(A)\to\C$ függvény, akkor $f(A)$ értelmezése; valamint ha $A$ egy $n\times n$-es mátrix és $f:\C\to\C$ olyan hatványsorral adott függvény, melynek konvergenciasugara végtelen, akkor $f(A)$ értelmezése.
Adott $f:\sz{a,b}\to V$ függvény és $n\in\N$ szám esetén a $B_{n}^{f}:\R\to V$ Bernstein-polinom értelmezése. Bernstein-tétel: Ha $f:\sz{a,b}\to V$ folytonos függvény, ahol $V$ normált tér, akkor $\di\lim_{n\to\infty}\sup_{t\in\sz{a,b}}\norm{B_{n}^{f}(t)-f(t)}=0$.
7. hét Trigonometrikus polinomok. Weierstrass approximációs tétele. Fourier-féle ortogonális függvényrendszer.
Jelölje $V$ a $2\pi$ szerint periodikus $\R\to\C$ folytonos függvények halmazát és minden $f,g\in V$ esetén legyen $\di \scal{f,g}=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\overline{f}g$. Ekkor a $$\di x\mapsto\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\kz{x\mapsto\frac{\cos(n\pi)}{\sqrt{\pi}}}_{n\in\N^{+}}, \kz{x\mapsto\frac{\sin(n\pi)}{\sqrt{\pi}}}_{n\in\N^{+}}$$ vektorrendszer ortonormált és teljes.
Integrálható függvény Fourier-együtthatói és Fourier-sora.
8. hét Minden $f\in C^{2}(\R,\R)$ $2\pi$ szerint periodikus függvény esetén a Fourier-sor részletösszegeiből álló $(S_{n})_{n\in\N}$ függvénysorozat egyenletesen konvergál az $f$ függvényhez.
Komplex számok és elemi függvények ismétlése. Komplex differenciálható (holomorf) és reguláris függvények. Egész függvény.
9. hét Cauchy–Riemann-egyenletek. Hatványsorok differenciálhatósága. Differenciálási szabályok. Elemi görbe ($\Gamma^{e}$), szakaszonként folytonosan differenciálható görbe ($\Gamma$), zárt görbe ($\Gamma^{\cdot}_{0}$). Görbe ívhossza. Folytonos függvény görbe menti integrálja.
Ha $\gamma\in\Gamma$ és $f:\C\vto\C$ olyan folytonos függvény, melyre $\Ran\gamma\subseteq\Dom f$ teljesül, akkor $\di\abs{\int\limits_{a}^{b}f}\leq\int\limits_{a}^{b}\abs{f}$.
Adott $a,b,c\in\C$ és $f:\C\to\C$ folytonos függvény esetén $\di\int\limits_{\sz{a,b}}f$ és $\di\int\limits_{\sz{a,b,c}}f$ értelmezése. Függvény primitív függvénye. Newton–Leibniz-tétel. Goursat-lemma.
9. hét Görbe indexfüggvénye és az indexfüggvény tulajdonságai. Egyszeresen összefüggő halmaz, kontúrhomotóp görbék. Cauchy integráltétele. Cauchy első és második integrálformulája. Második integrálformula felírása körre.
...

Irodalom: