Szemináriumok
Stochastic Arnold Diffusion of Deterministic Systems
Uniqueness of steady state, smooth shapes in a nonlocal geometric PDE and a model for the shape evolution of ooids
Uniqueness of steady state, smooth shapes in a nonlocal geometric PDE and a model for the shape evolution of ooids
We investigate steady state solutions of a nonlocal geometric PDE that serves as a simple model of simultaneous contraction and growth of grains called ooids in geosciences. As a main result of the talk I demonstrate that the parameters associated with the physical environment determine a unique, time-invariant (equilibrium) solution of the equation among smooth, convex curves embedded in $\mathbb{R}^2$. The model produces nontrivial shapes that are consistent with recorded shapes of mature ooids found in nature.
BETEGSÉG MIATT ELMARAD! Iterált függvényrendszerek (IFS) és szimbolikus dinamika
Sokaságok és leképezéseik
ELLIPTIKUS PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK HÁLÓNÉLKÜLI MEGOLDÁSA AZ ALAPMEGOLDÁSOK MÓDSZERÉVEL
A parciális differenciálegyenletek hagyományosnak számító numerikus módszerei a véges differencia és a véges elem módszerek (FDM, FEM). Előbbi módszerben a tartományok diszkretizálása egy számítási ráccsal, az utóbbiban végeselemes háló segítségével történik. Mindkét módszer ún. tartomány típusú, azaz a teljes tartományt diszkretizálni kell, ami végeredményben egy sokismeretlenes lineáris algebrai egyenletrendszerre vezet. Továbbá, egy bonyolult tartományra jól illeszkedő végeselem-háló kialakítása maga is igen bonyolult probléma lehet. Ezen hátrányok kiküszöbölésére születtek az ún. hálónélküli módszerek, melyek intenzívebb kutatása nagyjából az ezredforduló környékén kezdődött. Itt a tartományon és annak peremén semmiféle rács- vagy hálóstruktúra kialakítása felesleges: a diszkretizálás struktúra nélküli ponthalmazzal történik. Így a hálógenerálás problémája automatikusan megoldódik. A bevezetett ismeretlenek száma jellemzően sokkal kevesebb, mint az FDM ill. a FEM esetén. Ezen előnyök ára, hogy a módszer olyan lineáris egyenletrendszerre vezet, melynek mátrixa teljesen kitöltött, nemszimmetrikus és általában rosszul kondícionált. Az előadáson egy speciális hálónélküli módszert mutatunk be, az alapmegoldások módszerét. Itt a közelítő megoldást a szóban forgó differenciálegyenlet alapmegoldása segítségével konstruáljuk, melyet bizonyos külső pontokba (forráspontokba) tolunk el. A módszer rendkívül egyszerűen programozható, és ugyanakkor sok esetben nagyon pontos. Hátránya a már említett rosszul kondícionált mátrixok megjelenése, valamint a forráspontok optimális meghatározása. Az előadáson részletezzük e hátrányok csökkentésének lehetőségeit, és vázoljuk azt is, hogy a módszer hogyan terjeszthető ki inhomogén problémák megoldására: ez utóbbira egy ún. szórt alappontú interpolációs technikát alkalmazunk.