Számítási módszerek a fizikában 1 előadás és gyakorlat

Fizikusok Számítási módszerek a fizikában 1 előadása és gyakorlata
2024/2025 I. félévében.



Tárgykövetelmény: BMETE92AF51Kovetelmeny.


Az órák helye és ideje:

A zárthelyi dolgozatok:

Röpzh-k eredménye: Röpzh.


Gyakorlat anyaga:


Hét: Gyakorló példasor:
1. hét Elemi matematikai függvények és tulajdonságaik, egyenletek egyenlőtlenségek és alkalmazásaik pdf
2. hét Alapműveletek komplex számokkal, hatványozás és egyszerűbb egyenletek megoldása pdf
3. hét Komplex számok trigonometrikus alakja, logaritmusa, hatványozása és trigonometrikus függvényei pdf
4. hét Komplex számok alkalmazása a geometriában, transzformációk leírásában és relativisztikus dinamikában pdf
Polinomok osztása, gyökök és együtthatók közötti összefüggés és $\mathbb{R}^{3}$ elemi mûveletei pdf
5. hét A tér affin alakzatainak felírása, ezek egymástól vett távolságuk és a tér elemi lineáris transzformációinak a felírása pdf
6. hét Lineáris alterek, elemi mátrixmûveletek és lineáris transzformációk mátrixa pdf
7. hét Skalárszorzatos vektorterek és lineáris leképezések rangja pdf
8. hét Mátrix rangja, nyoma, transzponáltja és adjungáltja pdf
9. hét Egyenletrendszerek, mátrix determinánsa és invertálása pdf
10. hét Sajátérték, sajátvektor és báziscsere transzformáció pdf

Előadás anyaga:


Hét: Említett témák: Javasolt feladatok:
1. hét Elemi függvények: szinusz, koszinusz, tangens, kotangens (definíció, grafikon, fontosabb azonosságok), hatványozás értelmezése, azonosságai, hatvány és exponenciális függvények (grafikon, fontosabb tulajdonságok), logaritmus (grafikon, tulajdonságok, azonosságok). Csoport, Ábel-csoport definíciója, kapcsolat a szimmetriákkal. Test axiómák.
2. hét Példák testekre: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ és $\mathbb{Q}$ bővítése $\sqrt{2}$-vel. Rendezési axiómák Arkhimédészi axióma. Cantor axióma, Dedekind axióma. Említés szintjén: Cantor-axióma $\Leftrightarrow$ Dedekind-axióma. A valós számok halmazában mindez teljesül, és ezek (izomorfia erejéig) egyértelműen definiálják a valós számok halmazát. Komplex számok algebrai alakja. Komplex szám valós és képzetes része, konjugáltja, valamint abszolút értéke. Komplex számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa. Komplex szám trigonometrikus alakja. Komplex sor határértéke. Az exponenciális, a (hiperbolikus) szinusz és a (hiperbolikus) koszinusz függvény definíciója hatványsorral. Euler-formula. Trigonometrikus függvények felírása exponenciálissal. Mat. Feladatgyűjtemény I.
6. fejezet
7-12, 16-21, 33-47, 143-148, 152-157, 169, 170, 177, 181-183.
3. hét A rendezés nem általánosítható a komplex számtestre. Komplex számok szorzása, osztása és hatványozása exponenciális alakban. Addíciós tételek (hiperbolikus) trigonometrikus függvényekre. Az $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ függvény tulajdonságai. Az $\mathrm{arcsin}$, $\mathrm{arccos}$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arsh}$, $\mathrm{arch}$ és $\mathrm{arth}$ függvények definiálása. Algebrai alakban felírt komplex szám esetén a $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ meghatározása. Komplex szám logaritmusa. Komplex szám komplex hatványra emelése. Komplex szám $n$-edik gyöke, ahol $n\in\mathbb{N}$.
4. hét Polinomok fogalma a $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ vagy $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) számtest felett. Polinom foka. Polinomok összege, számszorosa és szorzata. Ha $p$ polinom és $x_{0}\in\mathbb{K}$, akkor létezik olyan $q$ polinom, hogy minden $x\in\mathbb{K}$ esetén $p(x)=(x-x_{0})q(x)+p(x_{0})$ teljesül. Polinomok maradékos osztása.
Algebra alaptétele: minden $\mathbb{C}$ számtest feletti legfeljebb elsőfokú polinomnak létezik gyöke a komplex számok körében (bizonyítás nélkül).
Polinom gyökének multiplicitása. Minden $\mathbb{C}$ számtest feletti $n$-ed fokú polinomnak pontosan $n$ gyöke létezik a komplex számok körében a gyököket multiplicitással számolva.
Minden $p$ polinom egyértelműen felírható $\displaystyle p(x)=a\prod_{i=1}^{N}(x-x_{i})^{k_{i}}$ alakban, ahol $a,x_{1},\dots,x_{N}\in\mathbb{K}$, $k_{1},\dots,k_{N}\in\mathbb{N}^{+}$ olyan, hogy $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}k_{i}=n$ teljesül. A polinom egütthatói és gyökei közötti összefüggések.
Az $\mathbb{R}^{n}$ tér elemi vektormûveletei: az $\mathbb{R}^{n}$ tér vektorainak összege, számszorosa és skaláris szorzata (koordinátákkal definiálva). A skaláris szorzás és tulajdonságai. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög definiálása. Az $\mathbb{R}^{3}$ térben vektorok vektoriális szorzata és a vektoriális szorzás tulajdonságai. 		Mat. Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet: 51-126.
5. fejezet: 1-90.
5. hét Az $\mathbb{R}^{3}$ térben a vegyes szorzat. Az $\mathrm{i}$, $\mathrm{j}$ és $\mathrm{k}$ egységvektorok az $\mathbb{R}^{3}$ térben. A $\delta_{ik}$ és $\varepsilon_{ijk}$ szimbólumok. A vektoriális szorzás felírása az $\varepsilon_{ijk}$ szimbólummal. A vegyes szorzat tulajdonságai.
Az $\mathbb{R}^{3}$ térben a pont, az egyenes és a sík egyenlete és ezen alakzatok egymástól vett távolsága.
Standard bázis az $\mathbb{R}^{n}$ térben. A $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ lineáris leképezés definíciója. Lineáris leképezés mátrixa a standard bázisban. Elemi mátrixműveletek: összeadás, számmal való szorzás és szorzás. A síkban való forgatás mátrixa.
Lagrange-interpoláció: A Lagrange-féle alappolinomok segítségével $n$ (különböző $x$ koordinátájú) pontra pontosan egy legfeljebb $(n-1)$-ed fokú polinom illeszthető. 		Mat. Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet: 36, 37.
Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet: 1-35.
6. hét Absztrakt vektortér fogalma az $\mathbb{R}$ és a $\mathbb{C}$ számtest felett. Vektorok lineáris kombinációja és lineáris függetlensége. Lineáris altér. Bázis. Minden vektortérben létezik bázis. (Bizonyítás nélkül.) Vektortérben két bázis elemszáma azonos. (Bizonyítás nélkül.) Dimenzió. Skaláris szorzás.
7. hét Vektortérben vektor felírása adott bázisban egyértelmű. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög. Norma. A $\Vert\cdot\Vert_{p}$ ($p\in\left[1,\infty\right[\cup\{\infty\}$) norma az $\mathbb{K}^{n}$ téren. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer. Vektor kifejtése ortonormált bázisban. Pitagorasz tétel véges dimenzióban. Szakasz felírása vektortérben, a konvex halmaz és az extremális pont fogalma. Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet: 80-99.
8. hét Gram–Schmidt-ortogonalizáció. Lineáris leképezés definíciója. Lineáris leképezések összege, számszorosa és szorzata. Adott $U$ és $V$ vektorterek esetén $\mathrm{Lin}(U,V)$ is vektortér. Vektortér duálisa. Lineáris leképezés képtere és magtere. A képtér és a magtér lineáris altér. Az $U$ és a $V$ vektortérben adott bázis esetén az $A\in\mathrm{Lin}(U,V)$ lineáris leképezés mátrixa. Mátrixműveletek kompatibilitása a lineáris leképezések műveleteivel. Lineáris leképezés rangja. Dimenziótétel. Négyzetes mátrix nyoma és a nyom tulajdonságai. Négyzetes mátrix transzponáltja és a transzponált tulajdonságai. Négyzetes mátrix adjungáltja és az adjungált tulajdonságai.
Lineáris egyenletrendszer felírása vektorral és lineáris leképezéssel. Homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszer. Elemi sorműveletek. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-Jordan-eliminációval. Lineáris egyenletrendszer lépcsős alakja. Elemi sorműveletekkel bármely mátrix redukált lépcsős alakra hozható. 		Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet
36-58, 63, 64, 73, 74.
9. hét Az $\{1,\dots,n\}$ halmaz permutációi ($\mathrm{Perm}(n)$). Csoport. Permutációk csoportot alkotnak a kompozíció művelettel. Transzpozíció. Létezik egyetlen olyan $\varepsilon:\mathrm{Perm}(n)\to\{-1,1\}$ csoporthomomorfizmus (előjel függvény), mely minden transzpozícióhoz a $-1$ értéket rendeli.
Mátrix determinánsa és a determináns alaptulajdonságai. 		Mat. Feladatgyűjtemény II.
20. fejezet 16-39, 42-77.
10. hét Determinánsra vonatkozó sorok és oszlopok szerinti kifejtési tétel. Mátrix invertálása aldetermináns segítségével. Mátrix invertálhatóságának jellemzése determinánssal. Mátrix invertálása Gauss-Jordan-eliminációval.
Báziscsere transzformáció.
Riesz-féle reprezentációs tétel véges dimenziós skalárszorzatos vektortéren. Az adjungált jellemzése skaláris szorzással. Önadjungált és normális mátrixok fogalma. Az $A:V\to V$ lineáris leképezés sajátértéke és sajátvektora. Az $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ lineáris leképezésnek $\lambda\in\mathbb{K}$ pontosan akkor sajátértéke, ha $\det(A-\lambda)=0$ teljesül. Mátrixalgebra kapcsán az algebra és az egységelemes algebra fogalma. Egységelemes algebrában egy elem spektruma. Mátrixalgebrában a spektrum megegyezik a sajátértékek halmazával. Komplex számtest feletti mátrixalgebrában a mátrix spektruma nem üres. Mátrixok speciális típusai: önadjungált, normális, ortogonális, unitér, projekció, idempotens, nilpotens és pozitív. 		Mat. Feladatgyűjtemény II.
20. fejezet 78-115.
Mat. Feladatgyűjtemény II.
21. fejezet 70-75.

A vizsgáról:


Kapcsolódó (fél)komoly multimédiás tartalmak:


Irodalom: