Számítási módszerek a fizikában 1

Számítási módszerek a fizikában 1 előadás és gyakorlat

Fizikusok Számítási módszerek a fizikában 1 előadása és gyakorlata
2024/2025 I. félévében.

Tárgykövetelmény: BMETE92AF51Kovetelmeny.

Zárthelyi dolgozatok:

2. pzh

Vizsgához: tételjegyzék és minimumkövetelmény.

Gyakorlat anyaga:

Hét:	Gyakorló példasor:
1. hét	Elemi matematikai függvények és tulajdonságaik, egyenletek egyenlőtlenségek és alkalmazásaik	pdf
2. hét	Alapműveletek komplex számokkal, hatványozás és egyszerűbb egyenletek megoldása	pdf
3. hét	Komplex számok trigonometrikus alakja, logaritmusa, hatványozása és trigonometrikus függvényei	pdf
4. hét	Komplex számok alkalmazása a geometriában, transzformációk leírásában és relativisztikus dinamikában	pdf
4. hét	Polinomok osztása, gyökök és együtthatók közötti összefüggés és $\mathbb{R}^{3}$ elemi mûveletei	pdf
5. hét	A tér affin alakzatainak felírása, ezek egymástól vett távolságuk és a tér elemi lineáris transzformációinak a felírása	pdf
6. hét	Lineáris alterek, elemi mátrixmûveletek és lineáris transzformációk mátrixa	pdf
7. hét	Skalárszorzatos vektorterek és lineáris leképezések rangja	pdf
8. hét	Mátrix rangja, nyoma, transzponáltja és adjungáltja	pdf
9. hét	Egyenletrendszerek, mátrix determinánsa és invertálása	pdf
10. hét	Sajátérték, sajátvektor és báziscsere transzformáció	pdf
11. hét	Ortogonális kiegészítő és spektrális felbontás	pdf
12. hét	Mátrixfüggvények	pdf
13. hét	Rendezés a mátrixokon, kvadratikus kifejezések és rugós rendszerek	pdf
14. hét	Mátrixcsoportok	pdf

Előadás anyaga:

Hét:	Említett témák:	Javasolt feladatok:
1. hét	Elemi függvények: szinusz, koszinusz, tangens, kotangens (definíció, grafikon, fontosabb azonosságok), hatványozás értelmezése, azonosságai, hatvány és exponenciális függvények (grafikon, fontosabb tulajdonságok), logaritmus (grafikon, tulajdonságok, azonosságok). Csoport, Ábel-csoport definíciója, kapcsolat a szimmetriákkal. Test axiómák.
2. hét	Példák testekre: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ és $\mathbb{Q}$ bővítése $\sqrt{2}$-vel. Rendezési axiómák Arkhimédészi axióma. Cantor axióma, Dedekind axióma. Említés szintjén: Cantor-axióma $\Leftrightarrow$ Dedekind-axióma. A valós számok halmazában mindez teljesül, és ezek (izomorfia erejéig) egyértelműen definiálják a valós számok halmazát. Komplex számok algebrai alakja. Komplex szám valós és képzetes része, konjugáltja, valamint abszolút értéke. Komplex számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa. Komplex szám trigonometrikus alakja. Komplex sor határértéke. Az exponenciális, a (hiperbolikus) szinusz és a (hiperbolikus) koszinusz függvény definíciója hatványsorral. Euler-formula. Trigonometrikus függvények felírása exponenciálissal.	Mat. Feladatgyűjtemény I. 6. fejezet 7-12, 16-21, 33-47, 143-148, 152-157, 169, 170, 177, 181-183.
3. hét	A rendezés nem általánosítható a komplex számtestre. Komplex számok szorzása, osztása és hatványozása exponenciális alakban. Addíciós tételek (hiperbolikus) trigonometrikus függvényekre. Az $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ függvény tulajdonságai. Az $\mathrm{arcsin}$, $\mathrm{arccos}$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arsh}$, $\mathrm{arch}$ és $\mathrm{arth}$ függvények definiálása. Algebrai alakban felírt komplex szám esetén a $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ meghatározása. Komplex szám logaritmusa. Komplex szám komplex hatványra emelése. Komplex szám $n$-edik gyöke, ahol $n\in\mathbb{N}$.
4. hét	Polinomok fogalma a $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ vagy $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) számtest felett. Polinom foka. Polinomok összege, számszorosa és szorzata. Ha $p$ polinom és $x_{0}\in\mathbb{K}$, akkor létezik olyan $q$ polinom, hogy minden $x\in\mathbb{K}$ esetén $p(x)=(x-x_{0})q(x)+p(x_{0})$ teljesül. Polinomok maradékos osztása. Algebra alaptétele: minden $\mathbb{C}$ számtest feletti legfeljebb elsőfokú polinomnak létezik gyöke a komplex számok körében (bizonyítás nélkül). Polinom gyökének multiplicitása. Minden $\mathbb{C}$ számtest feletti $n$-ed fokú polinomnak pontosan $n$ gyöke létezik a komplex számok körében a gyököket multiplicitással számolva. Minden $p$ polinom egyértelműen felírható $\displaystyle p(x)=a\prod_{i=1}^{N}(x-x_{i})^{k_{i}}$ alakban, ahol $a,x_{1},\dots,x_{N}\in\mathbb{K}$, $k_{1},\dots,k_{N}\in\mathbb{N}^{+}$ olyan, hogy $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}k_{i}=n$ teljesül. A polinom egütthatói és gyökei közötti összefüggések. Az $\mathbb{R}^{n}$ tér elemi vektormûveletei: az $\mathbb{R}^{n}$ tér vektorainak összege, számszorosa és skaláris szorzata (koordinátákkal definiálva). A skaláris szorzás és tulajdonságai. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög definiálása. Az $\mathbb{R}^{3}$ térben vektorok vektoriális szorzata és a vektoriális szorzás tulajdonságai.	Mat. Feladatgyűjtemény I. 4. fejezet: 51-126. 5. fejezet: 1-90.
5. hét	Az $\mathbb{R}^{3}$ térben a vegyes szorzat. Az $\mathrm{i}$, $\mathrm{j}$ és $\mathrm{k}$ egységvektorok az $\mathbb{R}^{3}$ térben. A $\delta_{ik}$ és $\varepsilon_{ijk}$ szimbólumok. A vektoriális szorzás felírása az $\varepsilon_{ijk}$ szimbólummal. A vegyes szorzat tulajdonságai. Az $\mathbb{R}^{3}$ térben a pont, az egyenes és a sík egyenlete és ezen alakzatok egymástól vett távolsága. Standard bázis az $\mathbb{R}^{n}$ térben. A $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ lineáris leképezés definíciója. Lineáris leképezés mátrixa a standard bázisban. Elemi mátrixműveletek: összeadás, számmal való szorzás és szorzás. A síkban való forgatás mátrixa. Lagrange-interpoláció: A Lagrange-féle alappolinomok segítségével $n$ (különböző $x$ koordinátájú) pontra pontosan egy legfeljebb $(n-1)$-ed fokú polinom illeszthető.	Mat. Feladatgyűjtemény I. 4. fejezet: 36, 37. Mat. Feladatgyűjtemény II. 19. fejezet: 1-35.
6. hét	Absztrakt vektortér fogalma az $\mathbb{R}$ és a $\mathbb{C}$ számtest felett. Vektorok lineáris kombinációja és lineáris függetlensége. Lineáris altér. Bázis. Minden vektortérben létezik bázis. (Bizonyítás nélkül.) Vektortérben két bázis elemszáma azonos. (Bizonyítás nélkül.) Dimenzió. Skaláris szorzás.
7. hét	Vektortérben vektor felírása adott bázisban egyértelmű. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög. Norma. A $\Vert\cdot\Vert_{p}$ ($p\in\left[1,\infty\right[\cup\{\infty\}$) norma az $\mathbb{K}^{n}$ téren. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer. Vektor kifejtése ortonormált bázisban. Pitagorasz tétel véges dimenzióban. Szakasz felírása vektortérben, a konvex halmaz és az extremális pont fogalma.	Mat. Feladatgyűjtemény II. 19. fejezet: 80-99.
8. hét	Gram–Schmidt-ortogonalizáció. Lineáris leképezés definíciója. Lineáris leképezések összege, számszorosa és szorzata. Adott $U$ és $V$ vektorterek esetén $\mathrm{Lin}(U,V)$ is vektortér. Vektortér duálisa. Lineáris leképezés képtere és magtere. A képtér és a magtér lineáris altér. Az $U$ és a $V$ vektortérben adott bázis esetén az $A\in\mathrm{Lin}(U,V)$ lineáris leképezés mátrixa. Mátrixműveletek kompatibilitása a lineáris leképezések műveleteivel. Lineáris leképezés rangja. Dimenziótétel. Négyzetes mátrix nyoma és a nyom tulajdonságai. Négyzetes mátrix transzponáltja és a transzponált tulajdonságai. Négyzetes mátrix adjungáltja és az adjungált tulajdonságai. Lineáris egyenletrendszer felírása vektorral és lineáris leképezéssel. Homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszer. Elemi sorműveletek. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-Jordan-eliminációval. Lineáris egyenletrendszer lépcsős alakja. Elemi sorműveletekkel bármely mátrix redukált lépcsős alakra hozható.	Mat. Feladatgyűjtemény II. 19. fejezet 36-58, 63, 64, 73, 74.
9. hét	Az $\{1,\dots,n\}$ halmaz permutációi ($\mathrm{Perm}(n)$). Csoport. Permutációk csoportot alkotnak a kompozíció művelettel. Transzpozíció. Létezik egyetlen olyan $\varepsilon:\mathrm{Perm}(n)\to\{-1,1\}$ csoporthomomorfizmus (előjel függvény), mely minden transzpozícióhoz a $-1$ értéket rendeli. Mátrix determinánsa és a determináns alaptulajdonságai.	Mat. Feladatgyűjtemény II. 20. fejezet 16-39, 42-77.
10. hét	Determinánsra vonatkozó sorok és oszlopok szerinti kifejtési tétel. Mátrix invertálása aldetermináns segítségével. Mátrix invertálhatóságának jellemzése determinánssal. Mátrix invertálása Gauss-Jordan-eliminációval. Báziscsere transzformáció. Önadjungált és normális mátrixok fogalma. Az $A:V\to V$ lineáris leképezés sajátértéke és sajátvektora. Az $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ lineáris leképezésnek $\lambda\in\mathbb{K}$ pontosan akkor sajátértéke, ha $\det(A-\lambda)=0$ teljesül. Mátrixalgebra kapcsán az algebra és az egységelemes algebra fogalma. Egységelemes algebrában egy elem spektruma. Mátrixalgebrában a spektrum megegyezik a sajátértékek halmazával. Komplex számtest feletti mátrixalgebrában a mátrix spektruma nem üres. Mátrixok speciális típusai: önadjungált, normális, ortogonális, unitér, projekció, idempotens, nilpotens és pozitív. Normális mátrix különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok merőlegesek egymásra. Ha $N$ normális mátrixra, $v$ vektorra és $\lambda$ számra $Nv=\lambda v$ teljesül, akkor $N^{}v=\bar{\lambda}v$. Ha $N$ normális mátrix, melynek $v$ sajátvektora, akkor minden $x$ vektorra ha $\langle x,v\rangle=0$, akkor $\langle Nx,v\rangle=0$ és $\langle N^{}x,v\rangle=0$ teljesül.	Mat. Feladatgyűjtemény II. 20. fejezet 78-115. Mat. Feladatgyűjtemény II. 21. fejezet 70-75.
11. hét	Riesz-féle reprezentációs tétel véges dimenziós skalárszorzatos vektortéren. Az adjungált jellemzése skaláris szorzással. Kiegészítő lineáris alterek. Skalárszorzatos vektortér részhalmazának ortogonálisa. Lineáris alterek ortogonálisának tulajdonságai. Vektorok lineáris burka. A lineáris burok megegyezik a vektorokat tartalmazó lineáris alterek metszetével. Komplex számtest feletti mátrixalgebrában minden normális operátornak létezik olyan sajátvektor rendszere, amely ONB. A $V$ skalárszorzatos vektortéren egy $A:V\to V$ lineáris leképezés pontosan akkor normális, ha létezik olyan $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ ortonormált bázis a $\mathbb{K}^{n}$ térben és az $A$ sajátértékeinek olyan $(\lambda_{i})_{i=1,\dots,n}$ rendszere, hogy minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}$ teljesül. Legyen $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ normális operátor, $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ olyan ortonormált bázis a $\mathbb{K}^{n}$ térben és $(\lambda_{i})_{i=1,\dots,n}$ a sajátértékek olyan rendszere, hogy minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}$ teljesül. Ha minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $P_{i}$ jelöli az $e_{i}$ vektor által meghatározott altérre való ortogonális projekciót, akkor $\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$ teljesül. Az $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ normális operátors spektrálfelbontása az $\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$ formában való felírása. Minden normális operátor diagonalizálható. Mátrixalgebrában $A$ normális operátor és $f:\mathrm{Sp} A\to\mathbb{C}$ függvény esetén $f(A)$ értelmezése és kiszámítása. Az $A:\mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}$ normális leképezésre az alábbiak teljesülnek. \begin{equation} \begin{array}{ll} 1. & A\ \mbox{önadjungált} \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{Sp} A\subseteq\mathbb{R} \\ 2. & A\ \mbox{pozitív} \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{Sp} A\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}\\ 3. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{Sp} A\subseteq\mathbb{T} \\ 4. & A\ \mbox{projekció} \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{Sp} A\subseteq\{0,1\} \end{array} \end{equation} Polarizációs formula: Az $A:\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}^{n}$ lineáris leképezésre minden $x,y\in\mathbb{C}^{n}$ esetén az alábbi egyenlet teljesül. $$\langle y,Ax\rangle =\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}\mathrm{i}^{k}\langle x+\mathrm{i}^{k}y,A(x+\mathrm{i}^{k}y)\rangle$$ Az $A:\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}^{n}$ lineáris leképezésre az alábbi ekvivalencia teljesül. $$A\neq 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \exists x\in\mathbb{C}^{n}:\ \langle x,Ax\rangle\neq 0 $$
12. hét	Normális mátrixok esetén a karakterisztikus egyenlet együtthatói és a sajátértékek közötti összefüggések. Legyen $V$ egy $\mathbb{C}$ feletti skalárszozatos vektortér és $A:V\to V$ lineáris leképezés. Az $A$ leképezés pontosan akkor önadjungált, ha minden $x\in V$ esetén $\langle x,Ax\rangle\in\mathbb{R}$ teljesül. Az $A:\mathbb{C}^{n}\to\mathbb{C}^{n}$ lineáris leképezésre az alábbiak teljesülnek. \begin{equation} \begin{array}{ll} 1. & A\ \mbox{normális} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{C}^{n}:\ \\|Ax\\|=\\|A^{}x\\| \\ 2. & A\ \mbox{önadjungált} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{C}^{n}:\ \langle x,Ax\rangle\in\mathbb{R} \\ 3. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x,y\in\mathbb{C}^{n}:\ \langle x,y\rangle=\langle Ax,Ay\rangle \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\mathbb{C}^{n}:\ \\|Ax\\|=\\|x\\| \\ 4. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \forall (e_{i})_{i=1,\dots,n}\ \mbox{ONB}:\ (Ae_{i})_{i=1,\dots,n}\ \mbox{ONB}. \end{array} \end{equation*}
13. hét	Ha $A$ $n\times n$-es önadjungált mátrix, akkor minden $t\in\mathbb{R}$ paraméter esetén az $\mathrm{e}^{itA}$ mátrix unitér. A $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ skalárszorzatos téren értelmezett $A:V\to V$ önadjungált operátor pozitív/negatív, pozitív/negatív definit és indefinit volta. Adott $A$ és $B$ önadjungált operátorok esetén $0\leq A$ és $A\leq B$ értelmezése. Az önadjungált operátorok halmazán bevezetett $\leq$ reláció rendezés. Az $n$-monoton és az operátor monoton függvények fogalma. Jacobson-lemma: Ha $\mathcal{A}$ egységelemes algebra, akkor minden $a,b\in\mathcal{A}$ elemre $\left\{0\right\}\cup\mathrm{Sp}(ab)=\left\{0\right\}\cup\mathrm{Sp}(ba)$. Ha $A$ és $B$ $n\times n$-es mátrix, akkor $\mathrm{Sp}(ab)=\mathrm{Sp}(ba)$.
14. hét	Minden $A\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb{C})$ mátrixra az alábbi kijelentések ekvivalensek. 1. $0\leq A$ 2. $\displaystyle\exists a_{1},\dots,a_{n}\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i}^{}$ 3. $\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ A=aa^{}$ 4. $\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{C}):\ a=a^{},\ A=a^{2}$ 5. $A=A^{},\ \mathrm{Sp}(A)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}$ Kúp a vektortérben. A $\mathrm{Mat}(n,\mathbb{K})$ térben a pozitív operátorok kúpot alkotnak. Ha az $A$ és $B$ $n\times n$-es mátrixra $AB=I$ teljesül, akkor $BA=I$. Blokk mátrix fogalma és mátrixműveletek blokk mátrixokkal. $\det\begin{pmatrix} A & 0\\ C & D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D)$ A $2\times 2$-es blokk mátrix determinánsa invertálható bal felső elem esetén: $\det\begin{pmatrix} A&B\\C&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D-CA^{-1}B)$. Sylvester tétele: Legyen $A$ egy $n\times n$-es önadjungált mátrix és legyen $A_{k}$ az $A$ mátrix bal felső $k\times k$ méretű almátrixa. Az $A$ mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha minden $k\in\left\{1,2,\dots,n\right\}$ esetén $\det(A_{k})>0$ teljesül.