Analízis 1 előadás és gyakorlat

Matematikusok Analízis 1 előadása és gyakorlata
2022/2023 I. félévében.



Tárgykövetelmény: Analízis 1.


Zárthelyi dolgozatok:

Vizsgához: tételjegyzék és minimum követelmény.


Gyakorlat anyaga:


Hét: Gyakorló példasor:
1. hét Nyílt/zárt halmazok rendszere és ekvivalens metrikák pdf
2. hét Teljes és kompakt halmazok pdf
3. hét (Egyenletes) folytonosság és (ívszerű) összefüggőség pdf
4. hét Normált terek alapjai pdf
5. hét Skalárszozatos terek alapjai pdf
6. hét Riesz-féle reprezentációs tétel és mátrixfüggvények pdf
7. hét Approximálhatóság speciális függvényekkel pdf
8. hét Komplex differenciálhatóság és a Cauchy-Riemann egyenletek pdf
9. hét Ismétlés
10. hét Komplex függvény vonalintegrálja pdf
11. hét Oktatási szünet.
12. hét Cauchy integrálformulái pdf
13. hét Cauchy integrálformulái, reziduum számítás és Laurent-sorfejtés pdf
14. hét Valós integrálok kiszámítása pdf

Előadás anyaga:


Hét: Említett témák:
1. hét Analízis 1 jegyzet: 1.1-1.7 fejezet.
Nyílt, zárt és korlátos halmazok és ezek alaptulajdonságai. Metrikus alterek. Metrikák ekvivalenciája. Konvergens sorozatok és tulajdonságaik. Cauchy-sorozatok és tulajdonságaik. Kompakt halmazok. Cantor-féle közösrész tétel. Bolzano-Weierstrass-tétel metrikus terekben (kompakt halmazok jellemzése sorozatokkal), bizonyítása a Lebesgue-lemmával.
2. hét Analízis 1 jegyzet: 1.8-1.11 fejezet.
Metrikus terek szeparabilitása. Függvények határértéke, határérték egyértelműsége és átviteli elv határértékre. Függvények folytonossága, átvetile elv folytonosságra, folytonosság topologikus jellemzése. Folytonosság és határérték kapcsolata. Folytonos függvények kompozíciója folytonos. Egyenlőségek folytatásának az elve. Nyílt függvények. Kompakt halmaz folytonos függvény általi képe kompakt. Weierstrass-tétel kompakt halmazon értelmezett valós értékű folytonos függvényekre. Homeomorfizmus. Egyenletesen folytonos függvények. Heine-tétel. Egyenletesen folytonos függvény kitejesztési tétele. Izometria. Izometria kiterjesztése izometria.
3. hét Analízis 1 jegyzet: 1.12-1.16 fejezet.
Kontrakciók és Lipschitz-folytonos függvények. Banach-féle fixponttétel. Távolság függvény és tulajdonságai. Diszjunkt zárt halmazok szétválasztása. Metrikus tér teljes burka. Összefüggő és ívszerűen összefüggő metrikus terek és részhalmazok. Összefüggő és ívszerűen összefüggő metrikus alterek jellemzése.
4. hét Analízis 1 jegyzet: 2.1-2.6 fejezet.
Összefüggő (ívszerűen összefüggő) halmaz folytonos függvény általi képe összefüggő (ívszerűen összefüggő). Norma által generált metrika. Topológiai alapfogalmak normált terekben. Sorok és sorozatok normált terekben. Banach-tér: teljes normált tér. Banach-térben minden abszolút konvergens sor konvergens. Normák ekvivalenciája. Lineáris leképezés folytonosságának jellemzése. Folytonos lineáris leképezések operátornormája. A folytonos lineáris leképezések terének tulajdonságai. Carl-Neumann-féle sorfejtés. Banach-tér folytonos lineáris leképezéseinek a terében az invertálható elemek és az invertálás tulajdonságai. Véges dimenziós normált terek tulajdonságai.
5. hét Analízis 1 jegyzet: 2.7-3.2 fejezet.
Elpé-terek. Normált térben minden összefüggő nyílt halmaz ívszerűen összefüggő. Véges sok normált tér szorzata. Normált terek teljes burka. Skaláris szorzás, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség, paralelogramma egyenlőség és skaláris szorzásból származó norma. Hilbert- és per-Hilbert-terek. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer, valamint a Schauder-bázis. Skaláris szorzás folytonossága. Bessel-egyenlőtlenség és Parseval-formula (Pitagorász-tétel). Ha $\mathcal{H}$ Hilbert-tér és $K\subseteq\mathcal{H}$ nem üres, konvex zárt halmaz, akkor minden $x\in\mathcal{H}$ esetén létezik egyetlen olyen $x_{K}\in K$ vektor, melyre $\displaystyle\Vert x-x_{K}\Vert=\inf_{y\in K}(\Vert x-y\Vert)$ teljesül. Adott $A\subseteq\mathcal{H}$ halmaz ortogonálisa $A^{\perp}$ és az ortogonális alaptulajdonságai.
6. hét Analízis 1 jegyzet: 3.3-4.4 fejezet.
Zárt lineáris altér ortogonális kiegészítője. Zárt lineáris altérre való projekció. Projekciók alaptulajdonságai. Riesz-féle reprezentációs tétel. Függvénysorozatok és függvénysorok pontonkénti, egyenletes és lokálisan egyenletes konvergenciája. Folytonos korlátos függvények terének alaptulajdonságai: metrikus téren értelmezett Banach-térbe menő folytonos korlátos függvények tere Banach-tér a $\sup$-normával. Hatványsorok és a Cauchy-Hadamard-tétel. Az $f(A)$ értelmezése abban az esetben, ha $f$ valós mindenhol konvergens hatványsorral adott függvény és $A$ négyzetes mátrix; valamint ha $f$ az $A$ normális mátrix sajátértékein értelmezett valós értékű függvény. Bernstein-polinomok és sűrűségük a $C(\left[a,b\right],\mathbb{R})$ térben.
7. hét Analízis 1 jegyzet: 4.5-5.4 fejezet.
Szétválasztó függvényhalmaz és lineáris függvényháló. Stone-féle sűrűségi tétel. Stone-Weierstrass-tétel. Normált terek között ható függvény differenciálhatósága.
8. hét Analízis 1 jegyzet: 6.1-6.1 fejezet.
Komplex függvény differenciálhatósága. Cauchy-Riemann-egyenletek.
9. hét Oktatási szünet.
10. hét Analízis 1 jegyzet: 6.2-6.3 fejezet.
Komplex függvény vonalintegrálja. Newton-Leibniz-tétel. Goursat lemma. Valamint ezek nyilvánvaló következményei.
11. hét Analízis 1 jegyzet: 6.4-6.5 fejezet.
Cauchy-integráltétele. Az indexfüggvény és az indexfüggvény elemi tulajdonságai. Cauchy 1. és 2. integrálformulája.
12. hét Analízis 1 jegyzet: 6.6-6.10 fejezet.
Függvény Cauchy-transzformáltja és a Cauchy-transzformált elemi tulajdonságai. Minden holomorf függvény analitikus. Holomorf függvény esetében a Taylor-sor konvergenciasugarának a maximalitási tulajdonsága. Megszüntethető szingularitások tétele. Morera tétele. Cauchy-egyenlőtlenség és a Liouville-tétel. Az algebra alaptétele.
13. hét Analízis 1 jegyzet: 6.11-6.13 fejezet.
Holomorf függvény zérushelyeinek a jellemzése. Maximum elv. Schwarz-lemma. Laurent-sorfejtés. Függvény reziduuma.
14. hét Analízis 1 jegyzet: 6.14-6.14 fejezet.
Reziduum-tétel. Argumentum-elv. Rouché-tétel. Laurent-sorfejtés gyakorlása.