Analízis 1 előadás és gyakorlat

Matematikusok Analízis 1 előadása és gyakorlata
2023/2024 I. félévében.



Tárgykövetelmény: Analízis 1.


Zárthelyi dolgozatok:

Vizsgához: tételjegyzék és minimumkövetelmény.


Gyakorlat anyaga:


Hét: Gyakorló példasor:
1. hét Nyílt/zárt halmazok rendszere és ekvivalens metrikák pdf
2. hét Teljes és kompakt halmazok pdf
3. hét (Egyenletes) folytonosság és (ívszerű) összefüggőség pdf
4. hét Normált terek alapjai pdf
5. hét Skalárszozatos terek alapjai pdf
6. hét Riesz-féle reprezentációs tétel és mátrixfüggvények pdf
7. hét Approximálhatóság speciális függvényekkel pdf
8. hét Komplex differenciálhatóság és a Cauchy–Riemann egyenletek pdf
9. hét Komplex függvény vonalmenti integrálja és Cauchy integrálformulái pdf
10. hét Valós integrálok meghatározása Cauchy integrálformuláival pdf
11. hét Oktatási szünet.
12. hét Elmaradt gyakorlati anyagok pótlása.
13. hét Cauchy integrálformulái, reziduum számítás és Laurent-sorfejtés pdf
14. hét Komplex függvénytan néhány alaptétele pdf

Előadás anyaga:


Hét: Említett témák:
1. hét Analízis 1 jegyzet: 1.1-1.4 fejezet.
Nyílt, zárt és korlátos halmazok és ezek alaptulajdonságai. Metrikus alterek. Metrikák ekvivalenciája. Konvergens sorozatok.
2. hét Oktatási szünet.
3. hét Analízis 1 jegyzet: 1.5-1.8 fejezet.
Konvergens és Cauchy-sorozatok és tulajdonságaik. Kompakt halmazok. Cantor-féle közösrész tétel. Bolzano–Weierstrass-tétel metrikus terekben (kompakt halmazok jellemzése sorozatokkal). Metrikus terek szeparabilitása. Függvények folytonossága.
4. hét Analízis 1 jegyzet: 1.9-1.12 fejezet.
Átviteli elv folytonosságra, folytonosság topologikus jellemzése. Függvények határértéke, határérték egyértelműsége és átviteli elv határértékre. Folytonosság és határérték kapcsolata. Folytonos függvények kompozíciója folytonos. Egyenlőségek folytatásának az elve. Nyílt függvények. Kompakt halmaz folytonos függvény általi képe kompakt. Weierstrass-tétel kompakt halmazon értelmezett valós értékű folytonos függvényekre. Homeomorfizmus. Egyenletesen folytonos függvények. Heine-tétel. Kontrakciók és Lipschitz-folytonos függvények. Banach-féle fixponttétel.
5. hét Analízis 1 jegyzet: 1.14-2.2 fejezet.
Egyenletesen folytonos függvény kitejesztési tétele. Izometria. Izometria kiterjesztése izometria. Metrikus tér teljes burka. Összefüggő és ívszerűen összefüggő metrikus terek és részhalmazok. Összefüggő és ívszerűen összefüggő metrikus alterek jellemzése. Összefüggő (ívszerűen összefüggő) halmaz folytonos függvény általi képe összefüggő (ívszerűen összefüggő). Norma által generált metrika. Topológiai alapfogalmak normált terekben. Sorok és sorozatok normált terekben. Banach-tér: teljes normált tér. Banach-térben minden abszolút konvergens sor konvergens. Normák ekvivalenciája. Lineáris leképezés folytonosságának jellemzése. Folytonos lineáris leképezések operátornormája.
6. hét Analízis 1 jegyzet: 2.3-2.6, 2.8, 4.3 és 4.4 fejezet.
A folytonos lineáris leképezések terének tulajdonságai. Véges dimenziós normált terek tulajdonságai. Normák ekvivalenciája Carl Neumann-féle sorfejtés. Hatványsorok és a Cauchy–Hadamard-tétel. Az $f(A)$ értelmezése abban az esetben, ha $f$ valós mindenhol konvergens hatványsorral adott függvény és $A$ négyzetes mátrix; valamint ha $f$ az $A$ normális mátrix sajátértékein értelmezett valós értékű függvény. Normált tér nyílt halmazainak összefüggősége.
7. hét Analízis 1 jegyzet: 3-3.4 fejezet.
Skaláris szorzás, Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség, paralelogramma egyenlőség és skaláris szorzásból származó norma. Hilbert- és per-Hilbert-terek. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer, valamint a Schauder-bázis. Skaláris szorzás folytonossága. Bessel-egyenlőtlenség és Parseval-formula (Pitagorász-tétel). Ha $\mathcal{H}$ Hilbert-tér és $K\subseteq\mathcal{H}$ nem üres, konvex zárt halmaz, akkor minden $x\in\mathcal{H}$ esetén létezik egyetlen olyen $x_{K}\in K$ vektor, melyre $\displaystyle\Vert x-x_{K}\Vert=\inf_{y\in K}(\Vert x-y\Vert)$ teljesül. Adott $A\subseteq\mathcal{H}$ halmaz ortogonálisa $A^{\perp}$ és az ortogonális alaptulajdonságai. Zárt lineáris altér ortogonális kiegészítője. Zárt lineáris altérre való projekció. Projekciók alaptulajdonságai.
8. hét Analízis 1 jegyzet: 3.5-4.2 és 4.5-4.7 fejezet.
Riesz-féle reprezentációs tétel. Függvénysorozatok és függvénysorok pontonkénti, egyenletes és lokálisan egyenletes konvergenciája. Függvénysorok abszolút konvergenciája. Banach-térbe menő abszolút konvergens függvénysor pontonként konvergens. Metrikus téren értelmezett normált térbe menő folytonos korlátos függvények terén a $\sup$ norma. Metrikus téren értelmezett Banach-térbe menő folytonos korlátos függvények tere Banach-tér a $\sup$-normával. Weierstrass-tétel függvénysor egyenletes konvergenciájáról. Bernstein-polinomok és sűrűségük a $C(\left[a,b\right],\mathbb{R})$ térben. Szétválasztó függvényhalmaz és lineáris függvényháló. Stone-féle sűrűségi tétel. Stone–Weierstrass-tétel.
9. hét Analízis 1 jegyzet: 5.1-5.2 és 6.1-6.2 fejezet.
Normált terek közötti függvény differenciálhatósága. Minden differenciálható függvény folytonos. A differenciálás linearitása és a láncszabály. Banach-tér folytonos lineáris leképezéseinek a terében az invertálható elemek nyílt halmazt alkotnak és az invertálás deriváltja. Komplex függvény differenciálhatósága. Cauchy–Riemann-egyenletek. A differenciálás elemi tulajdonságai.
10. hét Analízis 1 jegyzet: 6.3-6.4 fejezet.
Komplex függvény vonalintegrálja. Newton–Leibniz-tétel. Goursat-lemma. Valamint ezek nyilvánvaló következményei. Az indexfüggvény és az indexfüggvény elemi tulajdonságai.
11. hét Analízis 1 jegyzet: 6.5-6.7 fejezet.
Cauchy-integráltétele. Cauchy 1. és 2. integrálformulája. Függvény Cauchy-transzformáltja és a Cauchy-transzformált elemi tulajdonságai. Minden holomorf függvény analitikus. Holomorf függvény esetében a Taylor-sor konvergenciasugarának a maximalitási tulajdonsága. Megszüntethető szingularitások tétele.
12. hét Analízis 1 jegyzet: 6.8-6.13 fejezet.
Morera tétele. Cauchy-egyenlőtlenség és a Liouville-tétel. Az algebra alaptétele. Unicitás tétel. Holomorf függvény zérushelyeinek a jellemzése. Laurent-sorfejtés.
13. hét Analízis 1 jegyzet: 6.14-6.15 fejezet.
Reziduum-tétel. Argumentum-elv. Rouché-tétel. Nyílt leképezés tétele. Maximum elv.
14. hét Kimaradt bizonyítások.