Analízis 1 előadás és gyakorlat
Matematikusok Analízis 1 előadása és gyakorlata
2023/2024 I. félévében.
Tárgykövetelmény: Analízis 1.
Zárthelyi dolgozatok:
Vizsgához: tételjegyzék és minimumkövetelmény.
Gyakorlat anyaga:
Hét: | Gyakorló példasor: | |
---|---|---|
1. hét | Nyílt/zárt halmazok rendszere és ekvivalens metrikák | |
2. hét | Teljes és kompakt halmazok | |
3. hét | (Egyenletes) folytonosság és (ívszerű) összefüggőség | |
4. hét | Normált terek alapjai | |
5. hét | Skalárszozatos terek alapjai | |
6. hét | Riesz-féle reprezentációs tétel és mátrixfüggvények | |
7. hét | Approximálhatóság speciális függvényekkel | |
8. hét | Komplex differenciálhatóság és a Cauchy–Riemann egyenletek | |
9. hét | Komplex függvény vonalmenti integrálja és Cauchy integrálformulái | |
10. hét | Valós integrálok meghatározása Cauchy integrálformuláival | |
11. hét | Oktatási szünet. | |
12. hét | Elmaradt gyakorlati anyagok pótlása. | |
13. hét | Cauchy integrálformulái, reziduum számítás és Laurent-sorfejtés | |
14. hét | Komplex függvénytan néhány alaptétele |
Előadás anyaga:
Hét: | Említett témák: |
---|---|
1. hét | Analízis 1 jegyzet: 1.1-1.4 fejezet. Nyílt, zárt és korlátos halmazok és ezek alaptulajdonságai. Metrikus alterek. Metrikák ekvivalenciája. Konvergens sorozatok. |
2. hét | Oktatási szünet. |
3. hét | Analízis 1 jegyzet: 1.5-1.8 fejezet. Konvergens és Cauchy-sorozatok és tulajdonságaik. Kompakt halmazok. Cantor-féle közösrész tétel. Bolzano–Weierstrass-tétel metrikus terekben (kompakt halmazok jellemzése sorozatokkal). Metrikus terek szeparabilitása. Függvények folytonossága. |
4. hét | Analízis 1 jegyzet: 1.9-1.12 fejezet. Átviteli elv folytonosságra, folytonosság topologikus jellemzése. Függvények határértéke, határérték egyértelműsége és átviteli elv határértékre. Folytonosság és határérték kapcsolata. Folytonos függvények kompozíciója folytonos. Egyenlőségek folytatásának az elve. Nyílt függvények. Kompakt halmaz folytonos függvény általi képe kompakt. Weierstrass-tétel kompakt halmazon értelmezett valós értékű folytonos függvényekre. Homeomorfizmus. Egyenletesen folytonos függvények. Heine-tétel. Kontrakciók és Lipschitz-folytonos függvények. Banach-féle fixponttétel. |
5. hét | Analízis 1 jegyzet: 1.14-2.2 fejezet. Egyenletesen folytonos függvény kitejesztési tétele. Izometria. Izometria kiterjesztése izometria. Metrikus tér teljes burka. Összefüggő és ívszerűen összefüggő metrikus terek és részhalmazok. Összefüggő és ívszerűen összefüggő metrikus alterek jellemzése. Összefüggő (ívszerűen összefüggő) halmaz folytonos függvény általi képe összefüggő (ívszerűen összefüggő). Norma által generált metrika. Topológiai alapfogalmak normált terekben. Sorok és sorozatok normált terekben. Banach-tér: teljes normált tér. Banach-térben minden abszolút konvergens sor konvergens. Normák ekvivalenciája. Lineáris leképezés folytonosságának jellemzése. Folytonos lineáris leképezések operátornormája. |
6. hét | Analízis 1 jegyzet: 2.3-2.6, 2.8, 4.3 és 4.4 fejezet. A folytonos lineáris leképezések terének tulajdonságai. Véges dimenziós normált terek tulajdonságai. Normák ekvivalenciája Carl Neumann-féle sorfejtés. Hatványsorok és a Cauchy–Hadamard-tétel. Az $f(A)$ értelmezése abban az esetben, ha $f$ valós mindenhol konvergens hatványsorral adott függvény és $A$ négyzetes mátrix; valamint ha $f$ az $A$ normális mátrix sajátértékein értelmezett valós értékű függvény. Normált tér nyílt halmazainak összefüggősége. |
7. hét | Analízis 1 jegyzet: 3-3.4 fejezet. Skaláris szorzás, Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség, paralelogramma egyenlőség és skaláris szorzásból származó norma. Hilbert- és per-Hilbert-terek. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer, valamint a Schauder-bázis. Skaláris szorzás folytonossága. Bessel-egyenlőtlenség és Parseval-formula (Pitagorász-tétel). Ha $\mathcal{H}$ Hilbert-tér és $K\subseteq\mathcal{H}$ nem üres, konvex zárt halmaz, akkor minden $x\in\mathcal{H}$ esetén létezik egyetlen olyen $x_{K}\in K$ vektor, melyre $\displaystyle\Vert x-x_{K}\Vert=\inf_{y\in K}(\Vert x-y\Vert)$ teljesül. Adott $A\subseteq\mathcal{H}$ halmaz ortogonálisa $A^{\perp}$ és az ortogonális alaptulajdonságai. Zárt lineáris altér ortogonális kiegészítője. Zárt lineáris altérre való projekció. Projekciók alaptulajdonságai. |
8. hét | Analízis 1 jegyzet: 3.5-4.2 és 4.5-4.7 fejezet. Riesz-féle reprezentációs tétel. Függvénysorozatok és függvénysorok pontonkénti, egyenletes és lokálisan egyenletes konvergenciája. Függvénysorok abszolút konvergenciája. Banach-térbe menő abszolút konvergens függvénysor pontonként konvergens. Metrikus téren értelmezett normált térbe menő folytonos korlátos függvények terén a $\sup$ norma. Metrikus téren értelmezett Banach-térbe menő folytonos korlátos függvények tere Banach-tér a $\sup$-normával. Weierstrass-tétel függvénysor egyenletes konvergenciájáról. Bernstein-polinomok és sűrűségük a $C(\left[a,b\right],\mathbb{R})$ térben. Szétválasztó függvényhalmaz és lineáris függvényháló. Stone-féle sűrűségi tétel. Stone–Weierstrass-tétel. |
9. hét | Analízis 1 jegyzet: 5.1-5.2 és 6.1-6.2 fejezet. Normált terek közötti függvény differenciálhatósága. Minden differenciálható függvény folytonos. A differenciálás linearitása és a láncszabály. Banach-tér folytonos lineáris leképezéseinek a terében az invertálható elemek nyílt halmazt alkotnak és az invertálás deriváltja. Komplex függvény differenciálhatósága. Cauchy–Riemann-egyenletek. A differenciálás elemi tulajdonságai. |
10. hét | Analízis 1 jegyzet: 6.3-6.4 fejezet. Komplex függvény vonalintegrálja. Newton–Leibniz-tétel. Goursat-lemma. Valamint ezek nyilvánvaló következményei. Az indexfüggvény és az indexfüggvény elemi tulajdonságai. |
11. hét | Analízis 1 jegyzet: 6.5-6.7 fejezet. Cauchy-integráltétele. Cauchy 1. és 2. integrálformulája. Függvény Cauchy-transzformáltja és a Cauchy-transzformált elemi tulajdonságai. Minden holomorf függvény analitikus. Holomorf függvény esetében a Taylor-sor konvergenciasugarának a maximalitási tulajdonsága. Megszüntethető szingularitások tétele. |
12. hét | Analízis 1 jegyzet: 6.8-6.13 fejezet. Morera tétele. Cauchy-egyenlőtlenség és a Liouville-tétel. Az algebra alaptétele. Unicitás tétel. Holomorf függvény zérushelyeinek a jellemzése. Laurent-sorfejtés. |
13. hét | Analízis 1 jegyzet: 6.14-6.15 fejezet. Reziduum-tétel. Argumentum-elv. Rouché-tétel. Nyílt leképezés tétele. Maximum elv. |
14. hét | Kimaradt bizonyítások. |