Kalkulus 2 előadás és gyakorlat

Matematikusok Kalkulus 2 előadása és gyakorlata
2023/2024 II. félévében.



Tárgykövetelmény: Kalkulus 2.


Tematika: Kalkulus 2.


Az órák helye és ideje:

Órarendi változások:

A zárthelyi dolgozatok:

Eredmények: röpzh.


Jegyzet: Kalkulus 2.


Gyakorlat anyaga:


Hét: Gyakorló példasor:
1. hét Belső, torlódási, határ és izolált pontok. Halmaz belseje és lezártja. pdf
2. hét Határérték és folytonosság pdf
3. hét Oktatási szünet.
4. hét Banach-féle fixponttétel, folytonosság topologikus jellemzése, halmazok távolsága és operátornorma pdf
5. hét Függvénysorozatok és függvénysorok konvergenciája, egyenletes konvergenciája és lokálisan egyenletes konvergenciája pdf
6. hét Függvénysorok egyenletes konvergenciája; hatványsorok; függvénysorozatok, függvénysorok és hatványsorok integrálása és deriválása pdf
7. hét Taylor sorfejtés pdf
Haladóbb feladatok a függvénysorozatok és függvénysorok témaköréből pdf
8. hét Parciális deriváltak, függvény deriváltja és láncszabály pdf
9. hét Differenciálhatóság; gradiens, divergencia, rotáció; Laplace-operátor polár és gömbi koordinátarendszerben pdf
10. hét Érintősík, inverzfüggvény és implicitfüggvény tétel pdf
11. hét Taylor-sorfejtés és (feltételes) lokális szélsőérték pdf
12. hét Integrálások sorrendjének felcserélése, területszámítás, kettõs integrál, ívhosszszámítás, vonalmenti integrál, felszínszámítás és felületi integrál pdf
Az integrálok elméleti áttekintése pdf
13. hét Térfogatszámítás, hármas integrál, Gauss-Osztrogradszkij-tétel és Stokes-tétel pdf
Fizikai alkalmazások pdf
14. hét Fourier-sorfejtés pdf

Előadás anyaga:


Hét: Említett témák:
1. hét Jegyzet: 1.1-1.3
Általánosított számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség. Hölder-egyenlőtlenség. Minksowski-egyenlőtlenség. A $\mathbb{K}^{n}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ vagy $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) elemi műveletei. Skaláris szorzás. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Norma. Skaláris szorzásból származó norma. A $p$-norma és a végtelen norma. Nyílt, zárt és korlátos halmaz a $\mathbb{K}^{n}$ térben. Nyílt és zárt halmazok alaptulajdonságai. Belső, torlódási, határ és izolált pont fogalma. Halmaz belseje és lezártja. Halmaz belsejének és lezártjának elemi tulajdonságai. Sorozatok.
2. hét Jegyzet: 1.4-1.11
Torlódási pont és halmaz zártságának jellemzése sorozattal. Cauchy-sorozatok. A $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ tér teljessége. Kompakt halmazok. Minden kompakt halmaz korlátos és zárt. Cantor-féle közösrész tétel. Az $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ térben minden $R\in\mathbb{R}^{+}$ esetén a $\displaystyle\left[-R,R\right]^{n}$ halmaz kompakt. Bolzano-Weierstrass tétel a $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ térben. Függvény határértéke, átviteli elv határértékre és a határérték tulajdonságai. Függvény folytonossága, átviteli elv folytonosságra és a folytonosság tulajdonságai. Folytonosság topologikus jellemzése. Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvények, Weierstrass-tétel. Egyenletesen folytonos függvény. Heine-tétel.
3. hét Jegyzet: 1.12-1.15, 1.17
A $\mathbb{R}^{n}$ téren bármely két norma ekvivalens. Normák ekvivalenciájának következményei. Heine-Borel-tétel: A $(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert)$ tér egy részhalmaza pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Weierstrass-tétel: A $(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert)$ tér egy részhalmaza pontosan akkor kompakt, ha minden benne haladó sorozatnak létezik olyan konvergens részsorozata, melynek a határértéke a halmazban van. Sorok. Abszolút konvergens sorok. Minden abszolút konvergens sor konvergens. Sorok tulajdonságai. Lineáris leképezések folytonossága és normája, az operátornorma. Az operátornorma szubmiltiplikativitása. Carl Neumann-féle sor. Ha $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ jelöli az $n\times n$-es $\mathbb{K}$ értékű elemkből álló invertálható mátrixok halmazát, akkor minden $a\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ esetén $\displaystyle B_{\frac{1}{\Vert a^{-1}\Vert}}(a)\subseteq\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$, és az invertálható $n\times n$-es mátrixok halmaza nyílt az $n\times n$-es mátrixok terében. Adott halmaztól vett távolság-függvény. Adott halmaztól vett távolságfüggvény egyenletes folytonossága.
Függvénysor és függvénysorozat pontkénti, egyenletes és lokálisan egyenletes konvergenciája.
4. hét Jegyzet: 2.1-2.2
Folytonos függvények egyenletesen csak folytonos függvényhez konvergálhatnak. Ha egy függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens, akkor minden kompakt halmazon egyenletesen konvergens. A szuprémum norma a folytonos korlátos függvények terén. A folytonos korlátos függvények tere a szuprémum normával Banach-tér. Weierstrass tétele a függvénysor egyenletes konvergenciájáról.
5. hét Jegyzet: 2.3-2.6, 1.16, 1.18, 3.1
Függvénysor és függvénysorozat tagonkénti differenciálhatósága és integrálhatósága. Hatványsorok és a Cauchy-Hadamard-tétel. Abel tétele hatványsor egyenletes konvergenciájáról. Bernstein-polinomok és a Bernstein-polinomokkal való approximáció.
Riesz-féle reprezentációs tétel véges dimenzióban. Multilineáris leképezések. Multilineáris leképezés normája. Pozitív/negatív (definit) és indefinit multilineáris leképezés.
Konvex halmaz fogalma. Egy zárt, konvex és egy tőle diszjunkt zárt halmaz szétválasztó hipersíkkal. Minden zárt konvex halmaz félterek metszete.
Az $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ függvény differenciálhatósága. Differenciálható függvény deriváltja egyértelmű. Minden differenciálható függvény folytonos. Függvények összegének, számszorosának, skalárfüggvényszeresének deriválása. A konstans függvény és a lineáris leképezés deriválása.
6. hét Jegyzet: 3.2-3.6
Az egyváltozós skalárfüggvények Taylor-polinomja és Taylor-sora. A Taylor-sorfejtés tétele. Analitikus függvények. A hatványsor együtthatóinak egyértelműsége. Infinitezimális Taylor-formula.
Egy $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ függvény pontosan akkor differenciálható, ha mindegyik komponense differenciálható, azaz, ha minden $i\in\lbrace 1,\dots,m\rbrace$ esetén az $f_{i}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ függvény differenciálható (ahol $f_{i}=\mathrm{pr}_{i}\circ f$). Láncszabály. Mátrixok terén a négyzetreemelés deriváltja. Mátrixok terén az invertálás deriváltja. Az inklúziófüggvény és deriváltja. Parciális derivált. Differenciálható függvény deriváltjának kifejezése parciális deriváltakkal. Gradiens, divergencia, rotáció és Laplace-operátor.
7. hét Jegyzet: 3.7-3.8
Iránymenti derivált. Iránymenti derivált kapcsolata a deriválttal. Parciális derivált kapcsolata az iránymenti deriválttal. Véges növekmények formulája. Ha $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$ konvex nyílt halmaz és $f:\Omega\to\mathbb{R}$ függvény, akkor az $f$ függvény pontosan akkor differenciálható folytonosan az $\Omega$ halmazon, ha minden $i\in\lbrace 1,\dots,m\rbrace$ esetén $\mathrm{Dom}\partial_{i}f=\Omega$ és $\partial_{i}f$ folytonos. Függvénysorozat és függvénysor tagonkénti differenciálhatósága.
8. hét Jegyzet: 3.9-3.11
Inverzfüggvény tétel bizonyítás nélkül. Implicitfüggvény tétel. Adott $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ függvény $k$-adik deriváltja ($k\in\mathbb{N}$). Adott $k\in\mathbb{N}$ esetén $k$-szor (folytonosan) differenciálható és végtelenszer differenciálható $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ függvények. Schwarz-tétel (Clairaut tétele) a vegyes parciális deriváltak szimmetrikusságáról.
9. hét Jegyzet: 3.12-3.14
Taylor-sorfejtés hibataggal. Infinitezimális Taylor-formula. Lokális szélsőérték differenciális jellemzése. Feltételes szélsőérték szükséges feltétele.
10. hét Jegyzet: 3.15
Konvex/konkáv és szigorúan konvex/konkáv függvények. Kétszer differenciálható függvény konvexitásának és szigorú konvexitásának differenciális jellemzése.
Síkbeli és térbeli normáltartományon való integrálás. Az integrálás sorrendjének a felcserélése.
Térgörbe, térgörbe ívhossza, skalár- és vektorértékű függvény görbementi integrálja. Felület, felület normálvektora, felszíne, skalár- és vektorértékű felszíni/felületi integrálja. Egyszeresen összefüggő halmaz. Vektormező skalár és vektorpotenciálja. Elégséges feltétel a skalár- és a vektorpotenciál létezéséhez. Polár, henger és gömbi koordináták, valamint Jacobi-determinánsuk. Példák: gömb és tórusz felszíne, gömb térfogata.

A vizsgáról:

Irodalom: